10.4. Решение уравнений эллиптического типа

● Простейшее уравнение эллиптического типа носит название уравнение Лапласа

,

(8)

где – оператор Лапласа.

● Неоднородное уравнение Лапласа называется уравнением Пуассона.

(9)

Задача Дирихле для уравнения Пуассона:

Найти функцию , удовлетворяющую внутри некоторой области G уравнению (9), а на границе Г – граничному условию

,

(10)

где – заданная непрерывная функция.

Выбрав шаги h и l по x и y соответственно, строим сетку и заменяем в каждом внутреннем узле производные , конечно-разностными отношениями (5), а уравнение (9) конечно-разностными уравнениями

(11)

где .

Уравнения (11) вместе со значениями z_i,j в граничных узлах образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно значений функции z(x,y) в узлах (x_i,y_j).

Наиболее простой вид эта система имеет для прямоугольной области и для случая равных шагов сетки l=h. В этих случаях уравнения (11) записываются следующим образом:

,

(12)

а значения в граничных узлах в точности равны значениям граничной функции.

При уравнение становится уравнением Лапласа, и соответствующее конечно-разностное уравнение имеет вид:

(13)

Погрешность (т.е. остаточный член ) замены дифференциального уравнения разностным для уравнения Лапласа оценивается неравенством , где .

Пример: Найти приближенное решение уравнения , удовлетворяющее условию с точностью ε=0.01.

Данная область представляет собой эллипс. Используя симметрию начальных условий, построим решение только в I четверти.

Возьмем шаг h=1 и составим таблицу значений x и y:

Вычислим значения функции z(x,y) на границе:

Определим значения функции во внутренних точках:

Решая систему, получим:

z₁=4.02, z₂=4.33, z₃=4.81, z₄=5.30, z₅=4.42, z₆=4.56, z₇=4.86

z₈=5.20, z₉=5.5, z₁₀=4.52, z₁₁=4.63, z₁₂=4.87, z₁₃=5.14, z₁₄=5.28

Найденные значения, вместе со значениями функции в граничных точках, будем рассматривать как начальные приближения искомой функции.

Для уточнения найденных значений, воспользуемся процессом усреднения Либмана. Так как граничные точки лежат за пределами области, для уточнения их значений воспользуемся формулой

В начале вычислим значение δ для каждой точки. Так как точки A и H лежат одновременно в узлах сетки и на криволинейной границе области, δ_A=δ_H=0. Определим остальные расстояния переноса:

δ_B=3–2.94=0.06, δ_C=3–2.75=0.25, δ_D=3–2.4=0.6, δ_E=2–1.8=0.2, δ_F=5–4.71=0.29

Тогда процесс уточнения значений функции будем вести по следующим формулам:

Процесс пересчета продолжаем до тех пор, пока не достигнем требуемой точности, т.е. для всех внутренних и граничных точек будет выполняться неравенство: .