Решение нелинейных уравнений.

Нелинейными уравнениями называются уравнения вида

. (1)

Здесь - нелинейная функция:

– нелинейная алгебраическая функция вида ;

– трансцендентные функции – тригонометрические, обратные тригонометрические, логарифмические, показательные и гиперболические функции;

– комбинирование этих функций .

Решением нелинейного уравнения (1) является такая точка , которая при подстановке в уравнение (1) обращает его в тождество. На практике не всегда удается подобрать такое решение. В этом случае, решение уравнения (1) находят с применением приближенных (численных) методов. Тогда решением нелинейного уравнения (1) будет являться такая точка , при подстановке которой в уравнение (1) последнее будет выполняться с определенной степенью точности, т.е. , где - малая величина. Нахождение таких решений и составляет основу численных методов и вычислительной математики.

Решение нелинейных уравнений распадается на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений.

На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то сколько их, и затем определить интервалы, в каждом из которых находится единственный корень.

Первый способ отделения корней – графический.

Пример 1. Пусть дано нелинейное уравнение вида . Решим его графическим методом. Для этого представим уравнение в виде , где

; .

Графики функций ; представлены на Рис.2, из которого видно, что исходное уравнение имеет единственный корень .

Пример 2. Пусть задано нелинейное уравнение вида или .

Пример 3. Для нелинейного уравнения вида с помощью аналогичных преобразований и построений получим, что исходное уравнение имеет несколько (три) корней (Рис.4).

Второй способ отделения корней нелинейных уравнений – аналитический. Процесс отделения корней нелинейных уравнений основывается на следующих теоремах.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и меняет на концах отрезка знак (т.е. ), то на содержится хотя бы один корень.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке , выполняется условие вида и производная сохраняет знак на , то на отрезке имеется единственный корень.

Теорема 3. Если функция является многочленом степени и на концах отрезка меняет знак, то на имеется нечетное количество корней (если производная сохраняет знак на , то корень единственный).

При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции . Для этого необходимо вычислить критические точки , т.е. точки, в которых первая производная равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности . На каждом из них определяется знак производной , где . Затем выделяем те интервалы монотонности, на которых функция меняет знак. На каждом из этих интервалов для поиска корня используются методы уточнения корней.

Одним из методов уточнения корня на отрезке является метод половинного деления (метод дихотомии).