Задача 23. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Данное уравнение является линейным, так как содержит искомую функцию 
и её производную 
в первой степени и не содержит их произведений.
Применяем подстановку 
, где 
и 
— некоторые неизвестные функции аргумента 
. Если , то 
и данное уравнение принимает вид
(26)
Так как искомая функция представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (26), обращалось в нуль, т.е. чтобы имело место равенство
(27)
Тогда уравнение (26) принимает вид
(28)
Уравнение (27) является уравнением с разделяющимися переменными относительно и . Решим это уравнение:
(Чтобы равенство (27) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной 
). Подставив в (28) найденное выражение для , получим: 
Интегрируя, получаем 
. Тогда 
– общее решение данного уравнения.