10.5. Решение уравнений параболического типа

Уравнение параболического типа иначе называют уравнением теплопроводности. Рассмотрим наиболее простой вид такого уравнения и сформулируем задачу:

Найти функцию , удовлетворяющую уравнению

(14)

начальному условию

(15)

и краевым условиям

(16)

(задача о распространении тепла в однородном стержне длины s).

Введя новую переменную , уравнение (14) можно преобразовать к виду . В получившемся уравнении a=1, поэтому в дальнейшем будем полагать, что a=1.

В полуполосе построим параллельные прямые

Приближенно заменим в каждом внутреннем узле (x_i,t_j) производную разностным отношением:

(17)

а производную одним из двух разностных отношений:

		(18)
		(19)

Тогда для уравнения (14) при а=1 получаем два типа конечно-разностных уравнений:

Явная схема		(20)
Неявная схема		(21)

Умножим обе части на l:

Обозначим и приведем подобные:

Явная схема		(22)
Неявная схема		(23)

Так как , то при выборе числа σ следует учитывать два обстоятельства:

1) погрешность замены дифференциального уравнения разностным, должна быть наименьшей;

2) разностное уравнение должно быть устойчивым.

Уравнение (22) будет устойчивым, если , а уравнение (23) – при любом σ. Наиболее удобный вид уравнение (22) примет при :

(24)

и при :

(25)

Уравнение (25) дает более высокую точность решения по сравнению с уравнением (24). Но уравнение (24) имеет более простой вид. Кроме того, соотношение шагов h и l приводит к большему количеству вычислений, т.к. шаг l должен быть значительно меньше шага h.

Пример: Используя разностное уравнение (24) найти приближенное решение уравнения , удовлетворяющее условиям: , .

Решение:

По аргументу х выберем шаг h=0.1, т.к. уравнение (24) получено при , то по аргументу t получаем шаг . Составим таблицу и, пользуясь начальными и краевыми значениями, заполним часть таблицы:

Первый столбец заполняем согласно первому граничному условию: , а последний столбец – согласно второму граничному условию: . Первую строку таблицы заполняем, пользуясь начальным условием .

В итоге получим таблицу: