8.1. Метод сеток для уравнения параболического типа.

В качестве примера уравнения параболического типа остановимся на уравнении теплопроводности для однородного стержня длиной :

(50)

где - температура и - время.

Будем предполагать, что

. То есть от уравнения (50) перейдем к уравнению

(51)

Пусть задано распределение температуры в начальный момент времени и законы изменения температуры в зависимости от времени на концах стержня и :; . Требуется найти распределение температуры вдоль стержня длиной в любой момент времени . Функция должна быть непрерывна и дважды непрерывно дифференцируема по своим переменным в области .

Область заменим сеточной (Рис.14), разбивая ее с помощью шага по и с помощью шага по .

В результате замены непрерывной области

дискретным множеством узловых точек

, исходная задача деформируется. Теперь будем искать решение

только на дискретном множестве

. Т.е.

- двумерная таблица значений искомой функции в узловых точках.

Представим уравнение (51) в конечно-разностной форме, заменяя и конечно-разностным аналогом в узловых точках :

Получим конечно-разностный аналог исходной задачи: требуется найти значение функции , удовлетворяющего конечно-разностному уравнению вида:

, (52).

и дополнительным условиям:

Получим систему линейных алгебраических уравнений, которую можно решить любым известным методом. Исследования показали, что значения и должны быть связаны между собой следующим образом: , где .

Аппроксимируем уравнение (51) конечно-разностным

(53)

Решая систему (53) с учетом дополнительных условий, получим - искомую функцию в точках .

Второй вариант конечно-разностного аналога исходного дифференциального уравнения, т.н. явная схема, получается за счет того, что первые производные в узловых точках представлены в виде:

а вторая производная остается прежней. Получим исходное уравнение в конечно-разностной форме:

Считая, что , получим или , . По этой формуле для каждого значения для слоя по оси используются три значения на предыдущем слое с номером . Для начала вычислений используем дополнительные условия.

В результате решения задачи в конечно-разностной форме мы получаем значения искомой функции в точках (Рис.15), которые являются приближенным решением исходной задачи.

На практике полагают

, тогда расчетная формула упрощается и принимает следующий вид:

Данная расчетная формула дает наилучшее приближение к искомому решению, обеспечивая устойчивость конечно-разностной схемы и наилучшую аппроксимацию исходного уравнения конечно-разностным.

Заметим, что идея метода сеток, которая заключается в замене исходной области сеточной и замене исходной задачи конечно-разностным аналогом, используется при решении других типов уравнений в частных производных.

В случае неявной схемы используется другой вид аппроксимации и новое соотношение между шагами и в виде . Исходное дифференциальное уравнение (51) аппроксимируется конечно-разностным уравнением вида

(54)

Начальные и граничные условия остаются теми же, что в предыдущем случае. Для решения системы линейных алгебраических уравнений (54) применяется метод прогонки.

Суть метода прогонки состоит в том, что сначала вычисляются значения , выбирается значение с целью получения требуемой скорости продвижения оси . Обозначим , , , . В прямом ходе на очередном временном слое вычисляются вспомогательные функции: