10.6. Решение уравнений гиперболического типа

Уравнение гиперболического типа иначе называют уравнением колебания струны, или волновым уравнением. Сформулируем задачу:

Дано дифференциальное уравнение

(26)

Необходимо найти функцию z(x,t), удовлетворяющую этому уравнению, а также начальным условиям

(27)

и краевым условиям

(28)

Так как введением новой переменной можно преобразовать уравнение к виду

,

то в дальнейшем будем полагать, что a=1.

Построим в полуполосе два семейства прямых , и заменим в уравнении производные конечно-разностными отношениями:

Умножим обе части уравнения на :

Обозначив , получим

(29)

При это уравнение устойчиво, а при σ=1 имеет наиболее простой вид:

(30)

Эта формула позволяет найти значения функции z(x,y) на t_j+1 слое, если известны значения функции на двух предыдущих слоях.

Из первого начального условия получим

(31)

Во втором начальном условии заменим производную конечно-разностным отношением

Тогда

(32)

Таким образом, находя значения функции в узлах сетки, в начале заполним первые два слоя, пользуясь формулами (31) и (32), а затем на всех остальных слоях с помощью формулы (29), либо, с помощью более простой формулы (30).

Пример: Найти решение уравнения при , ; .

Решение:

Возьмем квадратную сетку с шагом h=l=0.05, т.е. .

Найдем значения z(x,t) на двух начальных слоях:

– на первом слое по формуле

– на втором слое формула буде выглядеть так:

– на все последующих слоях будем пользоваться формулой (30): .

В итоге получили таблицу:

Продолжение таблицы: