10.3. Итерационные методы решения системы конечно-разностных уравнений

В некоторых случаях требуется решить дифференциальное уравнение с частными производными с заданной точностью. Одним из наиболее простых методов является процесс усреднения Либмана.

Согласно этому методу вычисления ведутся следующим образом: вначале вычисляются (находятся) начальные приближения значений искомой функции, а затем последовательнее приближения для внутренних узлов определяются по формуле:

(6)

Начальные приближения значений функции во внутренних точках можно получить следующими способами:

- путем интерполяции, используя известные граничные значения;

- составляют систему конечно-разностных уравнений для сетки с более крупным шагом, а затем полученные значения интерполируют на узлы данной сетки.

Если граница Г области G криволинейна, то значения искомой функции для граничных узлов получают путем переноса значений из точек на границе Г. Погрешность, получающуюся в результате такого переноса можно значительно уменьшить, если для каждого граничного узла составить уравнения следующего вида:

для узла A_h

для узла D_h,

где A_h и D_h – узловые граничные точки, А и D – ближайшие к A_h и D_h точки, лежащие на границе, δ₁ и δ₂ – расстояния между A и A_h, и D и D_h соответственно, причем, со знаком «+», если точка внутри области, и знаком «–», если точка вне области.

Пересчет граничных значений методом Либмана проводится по формулам:

(7)

Итерации продолжают до тех пор, пока в двух последовательных приближениях значений функции, причем, как во внутренних, так и в граничных точках не совпадут требуемое количество десятичных знаков, т.е. .