№2. Аналитические методы решения уравнений математической физики. Метод Фурье, решение смешанной задачи.

Начало в первом ответе.

Обозначим особенность метода Фурье и используем его для решения уравнения теплопроводимости, уравнения Лапласа, волнового уравнения. Обозначим специфику решения смешанной задачи для уравнений колебаний струны.

Метод Фурье (метод разделения переменных) базируется на разделении переменных в уравнении (32.1) посредством замены

Решая задачи для уравнений (32.1)-(32.3), используем данный метод.

Задача. Решить уравнения (32.1) для струны конечной длины при наличии следующих условий:

1) граничных (33.4)

2) начальных (33.5)

Нетрадиционное решение сформулированной задачи найдем в виде

Использовав его в (32.1), получим (33.6)

Поскольку в (33.6) левая часть предполагает зависимость от, а правая зависит только от, то знак равенства между ними может иметь смысл при условии, что обе части равны постоянной, которая имеет обозначениеПредположим, что, в этом случае можно записать два стандартных дифференциальных уравнения: (33.7) (33.8)

Теперь обозначим общее для них решение (соответственно) (33.9)

Найти постоянные можно из определенных в задаче условий.

Поскольку(находим нетрадиционное решение), то

Пусть, в противном случае было быТаким образом, имеем последовательность частных решений

есть последовательность частных решений (32.1). Запишем их сумму (33.10) по причине линейности и однородности (32.1) также можно назвать его решением, которое удовлетворяет (33.4) тогда, когда выполняются заданные условия по отношению к сходимости ряда (33.10). Достаточно представить правильную сходимость ряда (33.10) и рядов, образованных из него почленным двойным дифференцированием пои по: при выполнении условияуравнение (33.7) можно записать так

Его общее решение не удовлетворяет условиям (33.4).

К тому же значенияименуют собственными значениями этой краевой задачи, а соответствующие им функцииимеют названия собственных функций.

В (33.10) определяемв соответствии с начальными условиями (33.5):

В случае, когда функцииудовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, тогда коэффициенты можно определить в качестве коэффициентов Фурье:

(33.11)

Итак, ряд (33.10) с коэффициентами (33.11) есть решение сформулированной задачи.