Решение дифференциальных уравнений.

Решаем задачу Коши для диф. уравнения 2-ого порядка : y’’ = f(x,y,y’) , причем, y(x0) = y0 , y’(x0) = y’0

Ищем решение у(х) в виде ряда Тейлора ( 13 ). Первые два коэффициента разложения y(x0) , y’(x0) нам заданы условием задачи.

Пр. Найти первые три члена разложения для задачи Коши : y’’ = xy’ – y + ex

при начальном условии у(0) = 1, у’(0) = 0

Решение ищем в виде y(x) = y(0) + y’(0)/1! + y’’(0)/2! + . . .

y’’(0) = 0 0 – 1 + 1 = 0 ; y’’’(0) = (xy’’ + ex)| 0 = 1 ; y’’’’(0) = (y’’ + xy’’’+ ex)| 0 = 1

Ответ : y(x) = 1 + 1/3! x3 + ¼! x4