8.2. Метод сеток для уравнений гиперболического типа.
Рассмотрим свободные колебания однородной ограниченной струны длины 
(
).
при для любого момента времени 
удовлетворяет уравнению гиперболического типа вида: 
(55)
где 
, и будем искать решение уравнения (55) при заданных начальных и краевых условиях:
, 
, при (56)
при 
(57)
Решим эту задачу методом сеток. Как и в случае параболического уравнения, заменим прямоугольную область и сеточной 
, где 
, 
, 
. Шаг по оси 
- 
, шаг по оси 
- 
.
На сетке приближенно заменим дифференциальное уравнение (55) конечно-разностным аналогом:
(58)
При 
уравнение (58) упрощается и принимает вид:
откуда
(59)
Из уравнения (59) видно, что для получения значений в 
-м слое используются значения в двух предыдущих слоях 
-м и 
-м. Для начала вычислений по формуле (59) также необходимо знать значения и 
на нулевом слое 
. Используя начальное условие 
, можно определить значения на фиктивном слое с номером 
. Для этого заменим производную в условии конечно-разностным соотношением: 
, где 
. Отсюда находим 
. Зная значения на слое , можно начать вычисления. Краевые условия (59) используются для получения значений 
и 
.
Еще по теме 8.2. Метод сеток для уравнений гиперболического типа.:
- 8.1. Метод сеток для уравнения параболического типа.
- 10.6. Решение уравнений гиперболического типа
- 10.2. Метод сеток
- 2.2. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.
- 9.2. Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка
- №39. Решение задачи Коши для уравнений колебания струны методом Даламбера.
- 3.1. Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений.
- 8. Численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
- 7.1. Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка методом конечных разностей.
- 10.4. Решение уравнений эллиптического типа
- 2.1. Метод простых итераций для решения систем нелинейных уравнений.
- 10.5. Решение уравнений параболического типа
- 6.4. Применение дифференциальных уравнений с малым параметром для решения нелинейных трансцендентных и алгебраических уравнений.
- №2. Аналитические методы решения уравнений математической физики. Метод Фурье, решение смешанной задачи.
- №1. Аналитические методы решения уравнений математической физики. Метод Даламбера, решение задач Коши.