10.2. Метод сеток

Метод сеток или метод конечных разностей, является одним из самых распространенных методов численного решения дифференциальных уравнений с частными производными.

В основе метода лежит идея замены производных конечно-разностными отношениями.

Пусть в плоскости 0xy имеется некоторая область G с границей Г. Построим на плоскости два семейства параллельных прямых и

.

Точки пересечения этих прямых назовем узлами.

● Два узла называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси 0x или 0y на расстояние, равное шагу сетки h или l соответственно.

Выделим узлы, принадлежащие области G+Г, а также некоторые узлы, не принадлежащие этой области, но расположенные на расстоянии, меньшем, чем шаг от границы Г.

● Те узлы, у которых все четыре соседних узла принадлежат выделенному множеству узлов, называются внутренними (например, узел А). Оставшиеся из выделенных узлов называются граничными (например, узлы В и С).

Значения искомой функции в узлах сетки будем обозначать через .

В каждом внутреннем узле заменим частные производные разностными отношениями:

,

(3)

В граничных точках будем пользоваться менее точными формулами:

,

(4)

Аналогично заменяем производные второго порядка:

,

(5)

Указанные замены производных в каждом узле сетки позволяют свести решение дифференциальных уравнений с частными производными к решению системы разностных уравнений.