10.1. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными
В общем случае дифференциальное уравнение с частными производными имеет вид:
 | (1) |
Где x и y – независимые переменные, z – искомая функция, 
– первые и вторые частные производные по аргументам x и y.
Решением уравнения (1) называется функция 
, обращающая это уравнение в тождество. График решения представляет собой поверхность в пространстве Oxyz.
Уравнение (1) называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и всех ее производных и не содержит их произведений, т.е. если это уравнение может быть записано в виде:
 | (2) |
Причем коэффициенты 
могут зависеть лишь от x и y. В частности, если эти коэффициенты не зависят от x и y, то уравнение (2) представляет собой линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Остановимся на этом случае подробнее.
Пусть 
– дискриминант уравнения. В зависимости от знака функции D линейное дифференциальное уравнение (2) относится в данной области к одному из следующих типов:
D0 – гиперболический тип
Если D не сохраняет постоянного значка – то уравнение будет смешанного типа.