Лекція № 6 Чисельне розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Крамера, метод Гаусса, матричний метод

Нехай дано систему n лінійних рівнянь з n невідомими

(5.32)

Необхідно знайти її розв’язок, тобто таку сукупність значень невідомих х1, х2, …, х3, що при підстановці в дану систему звертає всі рівняння у тотожності.

Запишемо систему (5.32) в матричній формі

,

(5.33)

де А - матриця коефіцієнтів при невідомих;

В - вектор-стовпець вільних членів;

Х - вектор-стовпець невідомих.

Вони мають вигляд:

; ; .

(5.34)

Якщо детермінант матриці А відрізняється від нуля, тобто , то матриця А є неособливою і система лінійних рівнянь (5.32) або (5.33) має єдиний розв'язок. Існуючі методи розв’язання систем лінійних рівнянь можна поділити на дві групи:

- прямі методи (метод Крамера, метод Гаусса, метод оберненої матриці);

- ітераційні методи (метод простої ітерації, метод Зейделя).

Прямі методи дозволяють одержати точний розв'язок системи за кінцеве число проміжних дій. Ітераційні методи дозволяють одержати приблизний розв'язок системи за кінцеве число наближень (ітерацій) із заданою похибкою результату.