<<
>>

Метод ітерацій або метод послідовних наближень

Для застосування методу ітерацій (латинське "ітераціо" ‑ повторення) вихідне рівняння ( ‑ неперервна функція) необхідно, по-перше, записати у вигляді , по-друге, виділити інтервал ізоляції кореня цього рівняння і по-третє, обрати нульове наближення кореня . Для одержання першого наближення в праву частину рівняння замість підставляємо , так що .

Наступні наближення утворюються за схемою

(3.23)

Таким чином, у результаті застосування деякого однакового процесу будуються послідовні наближення

При цьому можуть бути два випадки:

1) процес може сходитися, тобто послідовні наближення прямують до деякої кінцевої межі , що є коренем рівняння;

2) процес може розходиться, тобто кінцевої межі побудованих наближень існувати не буде; із цього не випливає, що розв’язок вихідного рівняння не існує, просто могло виявитися, що процес послідовних наближень обраний невдало.

Збіжність процесу ітерації визначається наступною теоремою.

Теорема. Нехай інтервал є інтервалом кореня рівняння , а функція визначена і диференційована на всьому інтервалі, причому усі її значення .

Тоді, якщо існує правильний дріб , такий, що , то:

1) процес ітерації сходиться незалежно від початкового значення ;

2) граничне значення є єдиним коренем рівняння на відрізку .

Наближення слід обчислювати доти, поки не буде виконана нерівність

,

де ‑ задана гранична абсолютна похибка кореня .

Якщо і додатна навколо кореня, то послідовні наближення і сходяться до кореня монотонно. Якщо ж похідна від'ємна, то послідовні наближення коливаються біля кореня .

Приклад 3.3.Методом ітерацій уточнити з корінь рівняння , ізольованийий на відрізку [0, 1].

Розв’язок

Зведемо рівняння до вигляду . Це можна зробити таким чином:

1. , тоді ;

2. , тоді .

Визначимо, яку з отриманих функцій слід використовувати. Знаходимо:

Отже, можна використовувати функцію і шукати послідовні наближення за формулою

.

Визначимо, якою повинна бути різниця між двома послідовними наближеннями

Обчислення зручно вести за допомогою таблиці 3.3.

Таблиця 3.3

№ ітерації
0 0.75 0.42188 0.25547
1 0.2555 0.016777 0.154144
2 0.1541 0.000565 0.151413
3 0.1514 0.005443 0.151361
4 0.15136 0.005442 0.151361

Можна вважати, що .

<< | >>
Источник: Конспек лекцій з курсу «Чисельні методи». 2016

Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House

Воспользуйтесь формой поиска

Метод ітерацій або метод послідовних наближень

релевантные научные источники: