Метод ітерацій або метод послідовних наближень

Для застосування методу ітерацій (латинське "ітераціо" ‑ повторення) вихідне рівняння ( ‑ неперервна функція) необхідно, по-перше, записати у вигляді , по-друге, виділити інтервал ізоляції кореня цього рівняння і по-третє, обрати нульове наближення кореня .

Для одержання першого наближення

в праву частину рівняння

замість

підставляємо

, так що

Наступні наближення утворюються за схемою

(3.23)

Таким чином, у результаті застосування деякого однакового процесу будуються послідовні наближення

При цьому можуть бути два випадки:

1) процес може сходитися, тобто послідовні наближення прямують до деякої кінцевої межі , що є коренем рівняння;

2) процес може розходиться, тобто кінцевої межі побудованих наближень існувати не буде; із цього не випливає, що розв’язок вихідного рівняння не існує, просто могло виявитися, що процес послідовних наближень обраний невдало.

Збіжність процесу ітерації визначається наступною теоремою.

Теорема. Нехай інтервал є інтервалом кореня рівняння , а функція визначена і диференційована на всьому інтервалі, причому усі її значення .

Тоді, якщо існує правильний дріб , такий, що , то:

1) процес ітерації сходиться незалежно від початкового значення ;

2) граничне значення є єдиним коренем рівняння на відрізку .

Наближення слід обчислювати доти, поки не буде виконана нерівність

де ‑ задана гранична абсолютна похибка кореня .

Якщо і додатна навколо кореня, то послідовні наближення і сходяться до кореня монотонно. Якщо ж похідна від'ємна, то послідовні наближення коливаються біля кореня .