Метод ітерацій або метод послідовних наближень
Для застосування методу ітерацій (латинське "ітераціо" ‑ повторення) вихідне рівняння (
‑ неперервна функція) необхідно, по-перше, записати у вигляді
, по-друге, виділити інтервал
ізоляції кореня цього рівняння і по-третє, обрати нульове наближення кореня
. Для одержання першого наближення
в праву частину рівняння
замість
підставляємо
, так що
.
Наступні наближення утворюються за схемою
![]() | (3.23) |
Таким чином, у результаті застосування деякого однакового процесу будуються послідовні наближення
При цьому можуть бути два випадки:
1) процес може сходитися, тобто послідовні наближення прямують до деякої кінцевої межі , що є коренем рівняння;
2) процес може розходиться, тобто кінцевої межі побудованих наближень існувати не буде; із цього не випливає, що розв’язок вихідного рівняння не існує, просто могло виявитися, що процес послідовних наближень обраний невдало.
Збіжність процесу ітерації визначається наступною теоремою.
Теорема. Нехай інтервал є інтервалом кореня рівняння
, а функція
визначена і диференційована на всьому інтервалі, причому усі її значення
.
Тоді, якщо існує правильний дріб , такий, що
, то:
1) процес ітерації сходиться незалежно від початкового значення
;
2) граничне значення є єдиним коренем рівняння
на відрізку
.
Наближення слід обчислювати доти, поки не буде виконана нерівність
,
де ‑ задана гранична абсолютна похибка кореня
.
Якщо і
додатна навколо кореня, то послідовні наближення
і
сходяться до кореня монотонно. Якщо ж похідна
від'ємна, то послідовні наближення коливаються біля кореня
.
Приклад 3.3.Методом ітерацій уточнити з корінь рівняння
, ізольованийий на відрізку [0, 1].
Розв’язок
Зведемо рівняння до вигляду . Це можна зробити таким чином:
1. , тоді
;
2. , тоді
.
Визначимо, яку з отриманих функцій слід використовувати. Знаходимо:
Отже, можна використовувати функцію і шукати послідовні наближення за формулою
.
Визначимо, якою повинна бути різниця між двома послідовними наближеннями
Обчислення зручно вести за допомогою таблиці 3.3.
Таблиця 3.3
№ ітерації | ![]() | ![]() | ![]() |
0 | 0.75 | 0.42188 | 0.25547 |
1 | 0.2555 | 0.016777 | 0.154144 |
2 | 0.1541 | 0.000565 | 0.151413 |
3 | 0.1514 | 0.005443 | 0.151361 |
4 | 0.15136 | 0.005442 | 0.151361 |
Можна вважати, що .