Метод хорд
Ідея методу хорд налягає в тому, що на достатньо малому проміжку дуга кривої
заміняється стягуючою її хордою. Шуканий корінь рівняння
є абсциса точки перетину графіка функції
з віссю Ох. Ця точка нам невідома, але замість її ми візьмемо точку
перетину хорди АВ із віссю Ох.
Розглянемо випадок, коли перша і друга похідні мають однакові знаки, тобто (Pис. 3.1). У якості нульового наближення кореня в даному випадку приймається ліва межа інтервалу ізольованого кореня, тобто
.
Рис. 3.1
Перше, друге та інші наближення кореня знаходяться з формули, яка получається з рівняння хорди. Рівняння хорди АВ записується як рівняння прямої, що проходить через дві точки з відомими координатами
![]() | (3.11) |
Значення , для якого
, тобто точка перетину хорди з віссю абсцис, розташовується ближче до точного значення кореня, чим
, і визначається з виразу
![]() | (3.12) |
Обчислимо значення . Геометрично
- довжина перпендикуляра до осі Ох, проведеного з точки до кривої
. Якщо
, то ми знайшли більш вузький інтервал існування кореня
, оскільки знаки
і
збігаються. Тепер корінь знаходиться у середині відрізка
. Якщо значення кореня
нас не влаштовує, то його можна уточнити, застосовуючи метод хорд до відрізка
, тобто побудувавши хорду А1В, записавши її рівняння і визначаючи точку перетину
хорди А1Б із віссю абсцис
![]() | (3.13) |
та ін.
1. Якщо мають місце варіанти I і II, тоді на відрізку
, то наближені значення коренів
будуть знаходитися усередині відрізків
,
, …, тобто нерухомим кінцем відрізка
буде кінець
, а наближені значення коренів будуть знаходитися за формулою
![]() | (3.14) |
при цьому (рис. 3.1).
2. Якщо мають місце варіанти III і IV, тоді на відрізку
, то наближені значення
коренів будуть знаходитися усередині відрізків
,
, …, тобто нерухомим кінцем відрізка
буде кінець
, а наближені значення коренів будуть знаходитися за формулою
![]() | (3.15) |
при цьому (рис. 3.2).
Рис. 3.2
Вибір тих або інших формул можна здійснити, користуючись простим правилом: нерухомим кінцем відрізка є той, для якого знак функції збігається зі знаком другої похідної, а нульове наближення вибирається відповідно до умови
![]() | (3.16) |
Процес послідовного наближення до кореня слід продовжувати доти, поки не буде виконана умова , де
‑ задана точність;
і
- наближення, отримані на
-му та
-му кроках. При цьому уточнене значення кореня приймається
.
Приклад 3.1.
Знайти корінь рівняння на відрізку [10, 12].
Розв’язок
Обчислюємо значення функції на кінцях відрізка:
Оскільки , то за нульове наближення приймаємо
та обчислення будемо проводити за формулою (3.14).
.
Скористаємося схемою Горнера для обчислення значення поліному у точці
.
1 | -12.2 | 7.45 | 42 | |
11 | 11.0 | -13.2 | -63.25 | |
1 | -1.2 | -5.75 | -21.25 |
Отже, . Це говорить про те, що істинний корінь розташований в інтервалі [11, 12].
Повторюючи процес для визначення другого наближення кореня, одержимо , для якого значення функції
. Тепер корінь знаходиться в інтервалі [11.17, 12]. Нарешті, третє наближення дає нам
, для якого
.
Таким чином, , тобто в даному прикладі на третьому кроці ми отримали точне значення кореня.
Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House
Метод хорд
- Методы и средства метрологического обеспечения измерений параметров теплообмена и теплоносителей Черепанов Виктор Яковлевич | Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Новосибирск - 2005 | Диссертация | 2005 | Россия | docx/pdf | 10.41 Мб05.11.15- Метрология и метрологическое обеспечение; 05.11.01 - Приборы и методы измерений (измерение параметров теплоносителей) Введение 4 Раздел 1 Теоретические аспекты теплометрии и задачи
- Методы математического моделирования для трехмерной рекострукции и функционального анализа желудочков сердца человека поданным эхокардиографии Алпатов Алексей Викторович | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Рязань - 2003 | Диссертация | 2003 | Россия | docx/pdf | 9.96 МбСпециальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы програм; Специальность 05.11.17 - Приборы, системы и изделия медицинского назначения. Введение 4 ГЛАВА 1 МЕТОДЫ
- Методы, критерии и алгоритмы управления процессом обеспечения промышленной безопасности нефтегазовых предприятий, основанные на теории нечетких множеств Глухов Сергей Владимирович | Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук. Оренбург - 2006 | Диссертация | 2006 | Россия | docx/pdf | 4.61 МбСпециальность 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики. Введение 4 Глава 1 Риски в нефтегазовой отрасли 12 1.1 Современное состояние нефтегазовых предприятий 12 1.2 Концепция
- Развитие методов управления надежностью сложных технических систем с зависимыми отказами элементов Назарян Сергей Арович | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Липецк - 2004 | Диссертация | 2004 | Россия | doc/pdf | 3.05 МбСпециальность 05.13.06 — Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (промышленность). ВВЕДЕНИЕ Управление надежностью технических систем промышленного производства — одна
- Оценка качества виноградных вин на основе определения органических кислот методом ионоэксклюзионной хроматографии Селиверстова Ирина Васильевна | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Москва - 2004 | Диссертация | 2004 | Россия | doc/pdf | 6.17 МбСпециальность 05.18.07 - Биотехнология пищевых продуктов (пивобезалкогольная, спиртовая и винодельческая промышленности) Специальность 05.02.23 - Стандартизация и управление качеством продукции
- Оптимальные методы решения интегральных уравнений вольтерра й их приложения Тында Александр Николаевич | Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Пенза - 2004 | Диссертация | 2004 | Россия | docx/pdf | 2.51 МбСпециальность 05.13.18. — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Актуальность темы. Аппарат интегральных уравнений прочно вошел в физику (теория волн на поверхности
- Параллельно-рекурсивные методы выполнения вейвлет-преобразования в задачах обработки дискретных сигналов Нго Кыу Фук | Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва - 2005 | Диссертация | 2005 | Россия | docx/pdf | 6.81 МбСпециальность 05.13.11 - математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей. ВВЕДЕНИЕ Вейвлет-преобразование (wavelet transformation) в настоящее время
- Поощрение как метод правового регулирования Киселева Ольга Михайловна | Диссертация на соискание ученой степени кандидата юридических наук. САРАТОВ - 2000 | Диссертация | 2000 | Россия | docx/pdf | 4.06 МбСпециальность 12.00.01 - Теория права и государства; история права и государства; история политических и правовых учений. Актуальность темы исследования. Специфика развития современных общественных
- Развитие методов расчета процесса ромелт и его моделирование с целью совершенствования технологии Бабкин Дмитрии Геннадьевич | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Москва - 2004 | Диссертация | 2004 | Россия | docx/pdf | 14.05 МбСпециальность 05.16,02 - Металлургия черных, цветных и редких металлов. Актуальность работы. Московским государственным институтом стали и сплавов с участием рада организаций отрасли разработан и
- Разработка логистических методов выбора вариантов складских распределительных систем Перведенцев Павел Александрович | Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук. Санкт-Петербург - 2005 | Диссертация | 2005 | Россия | docx/pdf | 7.17 МбСпециальность 08.00.05 - Экономика и управление народным хозяйством: логистика. Актуальность темы исследования. Функционирование любого российского предприятия в рыночных условиях обусловлено