Метод хорд

Ідея методу хорд налягає в тому, що на достатньо малому проміжку дуга кривої заміняється стягуючою її хордою.

Розглянемо випадок, коли перша і друга похідні мають однакові знаки, тобто (Pис. 3.1). У якості нульового наближення кореня в даному випадку приймається ліва межа інтервалу ізольованого кореня, тобто .

Рис. 3.1

Перше, друге та інші наближення кореня знаходяться з формули, яка получається з рівняння хорди. Рівняння хорди АВ записується як рівняння прямої, що проходить через дві точки з відомими координатами

.

(3.11)

Значення , для якого , тобто точка перетину хорди з віссю абсцис, розташовується ближче до точного значення кореня, чим , і визначається з виразу

.

(3.12)

Обчислимо значення .

,

(3.13)

та ін.

1. Якщо мають місце варіанти I і II, тоді на відрізку , то наближені значення коренів будуть знаходитися усередині відрізків , , …, тобто нерухомим кінцем відрізка буде кінець , а наближені значення коренів будуть знаходитися за формулою

,

(3.14)

при цьому (рис. 3.1).

2. Якщо мають місце варіанти III і IV, тоді на відрізку , то наближені значення коренів будуть знаходитися усередині відрізків , , …, тобто нерухомим кінцем відрізка буде кінець , а наближені значення коренів будуть знаходитися за формулою

,

(3.15)

при цьому (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Вибір тих або інших формул можна здійснити, користуючись простим правилом: нерухомим кінцем відрізка є той, для якого знак функції збігається зі знаком другої похідної, а нульове наближення вибирається відповідно до умови

.

(3.16)

Процес послідовного наближення до кореня слід продовжувати доти, поки не буде виконана умова , де ‑ задана точність; і - наближення, отримані на -му та -му кроках.

Приклад 3.1.

Знайти корінь рівняння на відрізку [10, 12].

Розв’язок

Обчислюємо значення функції на кінцях відрізка:

Оскільки , то за нульове наближення приймаємо та обчислення будемо проводити за формулою (3.14).

.

Скористаємося схемою Горнера для обчислення значення поліному у точці .

Отже, . Це говорить про те, що істинний корінь розташований в інтервалі [11, 12].

Повторюючи процес для визначення другого наближення кореня, одержимо , для якого значення функції . Тепер корінь знаходиться в інтервалі [11.17, 12]. Нарешті, третє наближення дає нам , для якого .

Таким чином, , тобто в даному прикладі на третьому кроці ми отримали точне значення кореня.