Метод Ньютона (метод дотичних)

Геометрично метод Ньютона еквівалентний заміні невеликої дуги кривої дотичною, проведеною до деякої точки кривої, наприклад, точки В (рис.

Рівняння дотичної до кривої у точці В має наступний вигляд

.

(3.17)

Вважаючи , знаходимо абсцису точки перетину цієї дотичної з віссю Ох:

.

(3.18)

Рис. 3.3

Значення приймаємо в якості першого наближення кореня . У точці визначаємо значення функції . Геометрично це довжина перпендикуляра до осі Ох, відновленого в до його перетину з кривою в точці В1.

Процес продовжується таким чином: проведемо дотичну до точки В1 і знайдемо точку перетину цієї дотичної з віссю абсцис .

.

(3.19)

Вибір нульового наближення кореня здійснюється таким чином:

якщо на , то ;

якщо на , то .

Чим більше чисельне значення похідної в околі даного кореня, тим менша поправка, яку необхідно враховувати в -му наближенні. Тому метод Ньютона особливо зручно застосовувати тоді, коли в околі даного кореня графік функції має велику крутизну.

Якщо чисельне значення похідної біля кореня мале, то поправки будуть великими і процес уточнення кореня може виявитися тривалим. Якщо крива поблизу точки перетину з віссю Ох майже горизонтальна, то застосовувати метод Ньютона не рекомендується.

Точність наближення на -му кроці оцінюється таким чином:

якщо , то .

Якщо похідна мало змінюється на відрізку , то для спрощення обчислень можна використовувати формулу

,

(3.20)

тобто значення похідної в початковій точці достатньо обчислити один раз. Геометрично це означає, що дотичні в точках замінюються прямими, паралельними дотичної, проведеної до кривої у точці (рис. 3.3).

Приклад 3.2.Методом дотичних уточнити до корінь рівняння , розташований на відрізку [-2. 75, -2. 5].

Розв’язок

За умовою . Визначаємо другу похідну :

.

Таким чином, , тому .

Визначаємо значення першої похідної у точці :

.

Для зручності подальші обчислення зводимо в таблицю 3.2.

Таблиця 3.2

0	-2.75	-20.797	7.5625	22.6875	-1.111	0.179
1	-2.571	-16.994	6.6100	19.8300	-0.164	0.026
2	-2.545	-16.484	6.4770	19.431	-0.053	0.008
3	-2.537	-16.329	6.4364	19.309	0.020	0.003
4	-2.534	-16.271	6.4212	19.2636	0.007	0.001
5	-2.533

Остаточно одержимо .