Окремі випадки інтегрування рівняння Ейлера.

1. - функція не залежить від .

Рівняння Ейлера (2.2) записується у вигляді , звідки . Це вже рівняння першого порядку, яке може бути розв’язане стандартними методами [11].

2. .

Рівняння Ейлера (2.2) має вигляд і не є диференціальним рівнянням. В загальному вигляді ця задача не має розв’язку.

3. .

Рівняння (2.2) має вигляд . Звідки або . Рівняння має розв’язок . Це двопараметрична сім’я інтегральних прямих. Якщо рівняння має дійсні розв’язки, то вони записуються у вигляді і розв’язки цього рівняння набувають вигляду . Це однопараметрична сім’я інтегральних прямих, яка міститься у вище розглянутій двопараметричній сім’ї інтегральних прямих. Таким чином, розв’язком рівняння є сім’я прямих .

4. .

Рівняння Ейлера в розгорнутому вигляді має вигляд: . Помножимо останнє рівняння на . Маємо: . Звідки

. (2.4)

Приклад 2.2. (задача про брахістохрону). У вертикальній площині розташовані дві точки та . Знайти рівняння кривої, за якою важка матеріальна точка під дією сили тяжіння спуститься від точки до точки за найменший час. Точки та не розташовані на вертикальній прямій, початкова швидкість точки дорівнює нулю, а опір руху відсутній.

Розв’язання. За умовою задачі потрібно знайти мінімум функціонала , - довжина дуги лінії, а - швидкість руху матеріальної точки.

Відомі закон руху матеріальної точки під дією сили важіння і відповідне рівняння траєкторії руху, а саме , . Якщо покласти , а , то знайдемо .

Функція цієї задачі не залежить від . Тому розв’язок рівняння Ейлера (2.2) розшукуємо у вигляді (2.4). Маємо:

.

Звідки , де . Розв’язок останнього рівняння розшукуємо у параметричній формі. Покладемо . Тоді . Знайдемо :

,

.

Таким чином

Константу визначимо з початкової умови або Маємо . Для спрощення запису відповіді покладемо , а замість будемо писати . Остаточно отримуємо:

Стала може бути визначена з умови .

Далі отримаємо необхідні умови екстремуму функціонала

(2.5)

з граничними умовами

(2.6)

Для цього зафіксуємо всі функції , , окрім однієї . Тоді функціонал буде залежати лише від однієї функції . Тобто

.

Для останнього функціонала запишемо рівняння Ейлера (2.2). Вище наведені міркування мають місце для будь-якої функції . Тому для знаходження екстремалей задачі (2.5)-(2.6) потрібно записати систему диференціальних рівнянь Ейлера

, (2.7)

з початковими умовами (2.6).

Приклад 2.3. Знайти екстремалі функціонала , які задовольняють початкові умови .

Розв’язання. Запишемо систему диференціальних рівнянь Ейлера (2.7) для двох функцій і . Маємо:

Рівняння є лінійним однорідним рівнянням зі сталими коефіцієнтами четвертого порядку. Корені відповідного характеристичного рівняння дорівнюють та . Тому, загальний розв’язок отриманої системи має вигляд

Довільні сталі знаходимо з граничних умов. Маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

або

Таким чином,