8.3. Крайові задачі для двовимірних рівнянь Лапласа і Пуассона

Розглянемо крайову задачу для рівняння

(8.11)

з однорідною граничною умовою

(задача Діріхлє), (8.12)

або

(задача Неймана), (8.13)

або

(мішана задача).

Оператор є додатним і навіть додатньо визначеним для кожної з крайових задач (8.12) – (8.14) (див. приклад 7.4. і зауваження 7.2). Для задачі Неймана (8.13) потрібно враховувати умову (7.3).

Умови (8.12) – (8.14) можна розглядати однорідними. Якщо це не так, то достатньо побудувати будь-яку двічі неперервну диференційовану функцію , яка задовольняє відповідні неоднорідні умови (8.12) – (8.14) на границі . Тоді нова функція , така що , буде задовольняти однорідні умови (8.12) – (8.14).

Наближений розв'язок рівняння (8.11) розшукуємо у вигляді (8.1), а саме

, (8.15)

де невідомі сталі є розв'язками системи (8.3) з коефіцієнтами (8.4). Для наведених крайових задач коефіцієнти (8.4) мають вигляд

(8.16)

а) б) в)

Рис.

Кожна з функцій повинна задовольняти якусь граничну умову (8.12) – (8.14), в залежності від задачі, яка розв'язується. Тому кожна з функцій повинна мати множник , який на границі області обертається в нуль. Це можна зробити так: .

Приклади побудови функції для різних областей з границею Г (рис. 8.1):

рис. 8.1 (а):

рис. 8.1. (б):

рис. 8.1. (в):

Приклад 8.2. Побудувати варіаційну задачу для крайової задачі де - контур прямокутника . Знайти розв'язки , і цієї варіаційної задачі.

Розв'язання. Функціонал (7.9) заданої крайової задачі має вигляд:

.

Наближений розв'язок (8.15) (враховуючи симетрію задачі) записуємо у вигляді

,

де - функція, яка забезпечує виконання граничних умов .

За умовою, знаходимо наближені розв'язки

,

.

Для цього розв'язуємо систему (8.3) з коефіцієнтами (8.16), де . Функції , які є у формулах (8.4) дорівнюють:

.

Знаходимо наближений розв'язок :

.

Далі знаходимо розв'язок :

.

Система (8.3) має вигляд:

її розв'язок такий: , а

.

Нарешті, знаходимо : обчислимо, за формулами (8.4) коефіцієнти , ; система (8.3) має розв'язки , , а

.

Для порівняння значень наближень в проміжних точках складемо таблиці:

Табл. 8.2. Значення наближення

	0	0,5	1	1,5
0	0,5	0,4688	0,375	0,2188
0,5	0,375	0,3516	0,2813	0,1641

Табл.

	0	0,5	1	1,5
0	0,4543	0,4433	0,3963	0,2717
0,5	0,3407	0,3324	0,2972	0,2037

Табл. 8.4. Значення наближення

	0	0,5	1	1,5
0	0,4622	0,4501	0,4005	0,2729
0,5	0,3416	0,3328	0,2966	0,2025

З таблиць (8.2) – (8.4) видно, що значення у проміжних точках другого і третього наближень відрізняються за абсолютною величиною не більше ніж на 0,008.