3.2. Дослідження квадратичного функціонала. Рівняння Якобі. Достатні умови слабкого екстремуму

Розглянемо другу варіацію (3.6) найпростішого функціонала (2.1) і будемо вважати, що вздовж досліджуваної екстремалі виконується посилена умова Лежандра, а саме

.

Запишемо для квадратичного функціонала (3.6) рівняння Ейлера

(3.11)

з граничними умовами

. (3.12)

Рівняння (3.11), як правило, називають рівняння Якобі. Якщо в нього підставити значення функцій i (3.7)-(3.8), то вона набуде вигляду

. (3.13)

Рівняння Якобі (3.11), разом з однорідними граничними умовами має тривільний розв’язок Однак, може так статися, що воно має і інші розв’язки, які задовольняють ті ж самі граничні умови (3.12).

Приклад 3.1. Знайти розв’язок диференціального рівняння з такими граничними умовами: а) ; б) .

Розв’язання. Очевидно, що функція задовольняє як задане диференціальне рівняння, так і граничні умови а) та б).

Однак у випадку а) інші розв’язки відсутні:

, , , і .

У випадку б):

, , , і тому існують розв’язки, тотожньо відмінні від нуля.

Означення 3.3. Точка називається спряженою до точки , якщо рівняння Якобі (3.11) з граничними умовами

має розв’язок тотожньо відмінний від нуля ().

Для подальших висновків суттєвим буде таке: чи існує розв’язок , який задовольняє умову і має корені на проміжку У випадку, коли корені існують, досліджувана екстремаль не може бути екстремумом функціоналу (2.1).

Якщо є розв’язком рівняння Якобі (3.11) і для , то говорять, що екстремаль в проміжку задовольняє умову Якобі. Якщо умова Якобі виконується в проміжку , то говорять, що екстремаль задовольняє посилену умову Якобі.

Зауваження 3.2. Якщо – ненульовий розв’язок рівняння (3.11), то вираз також є розв’язком вказаного рівняння. Тому на розв’язок можна накласти умову нормування, а саме і замість граничних умов (3.12) розглядати початкові умови

; . (3.14)

Теорема 3.3. Якщо екстремаль задовольняє посиленим умовам Лежандра (3.10) і Якобі, то для такої екстремалі

,

причому знак рівності має місце тільки у випадку .

Доведення. До функціоналу (3.6) додамо рівний йому інтеграл

.

Отримаємо такий вираз для другої варіації функціонала

. (3.15)

В виразі (3.15) виберемо функцію таким чином, щоб функція, яка інтегрується була повнім квадратом. Це можливо, якщо функція буде задовольняти рівнянню

. (3.16)

Для розв’язання рівняння (3.16) зробимо підстановку . Після цього рівняння (3.16) набуде вигляду (3.11) або (3.13). Тобто буде отримане рівняння Якобі. При цьому для (за умовою теореми виконується посилення умові Якобі) і тому є неперервною функцією на кожному проміжку.

Якщо функція задовольняє рівнянню (3.16), то функціонал (3.15) буде мати вигляд

, (3.17)

звідки , а рівність нулю буде досягатися лише в тому випадку, коли

.

Останнє рівняння має розв’язок:

Враховуючи початкову умову , отримуємо що .

Наслідок. Посиленні умови Лежандра і Якобі достатні для того, щоб екстремаль давала слабкий екстремум функціоналу (2.1).

Алгоритм дослідження функціоналу , , на слабкий екстремум:

1. Знаходимо екстремалі функціонала, виходячи з необхідної умови екстремуму і граничних умов.

2. Перевіряємо виконання посиленої умови Лежандра (3.10) вздовж екстремалі.

3. Перевіряємо виконання умови Якобі, досліджуючи при цьому розв’язки задачі Коші для рівняння Якобі з початковими умовами .

Зауваження 3.3. Розглянемо сім’ю кривих . Припустимо, що всі криві проходять через єдину спільну точку і інших точок перетину не мають. В цьому випадку говорять, що сім’я кривих утворює центральне поле.

Зауваження 3.4. Умова Якобі є необхідною умовою екстремуму (як сильного так і слабкого) [5]. Тобто, якщо розв’язок рівняння Якобі обертається в нуль для будь-якого значення , то на екстремалі екстремум відсутній.

Приклад 3.2. Дослідити на екстремум функціонал

.

Розв’язання. , , , , , .

1. Розв’язуємо рівняння Ейлера з заданими граничними умовами:

; , . Звідки: , або , або .

Рівняння має загальній розв’язок . З граничних умов знаходимо: , . Звідки , і .

Рівняння має загальний розв’язок , який не задовольняє граничні умови.

Рівняння або має розв’язок , який також не задовольняє граничні умови.

Таким чином, екстремаллю для наведеного функціонала буде пряма лінія .

2. .

3. Перевіряємо умову Якобі:

.

.

.

Звідки .

На відрізку (1;2] і тому точки, спряжені точці , відсутні. Таким чином, достатні умови слабкого екстремуму виконуються і пряма надає слабкий мінімум функціоналу.