2.1. Функціонали вигляду ,

.

Спочатку розглянемо функціонали вигляду

(2.1)

Теорема 2.1.

. (2.2)

Зауваження 2.1. Будь-який сильний екстремум є і слабким. Тому теорема 2.1 є необхідною умовою і для сильного екстремуму.

Зауваження 2.2. Функція має неперервні похідні по всім змінним до другого порядку включно.

Доведення. Припустимо, що функціонал (2.1) досягає екстремуму на деякій кривій . Побудуємо сім’ю кривих , де , а - крива порівняння. Розглянемо функціонал

(2.3)

і застосуємо до нього необхідну умову екстремуму (1.11).

.

.

Так як - довільна неперервна функція, то за основною лемою варіаційного числення (теорема 1.2) отримуємо рівняння Ейлера (2.2).

Криві, які задовольняють рівняння Ейлера, називаються екстремалями.

Зауваження 2.3. Рівняння (2.4) можна записати в розгорнутому вигляді

.

Якщо , то є неперервною функцією від .

Зауваження 2.4. Для того, щоб переконатися чи дійсно на отриманих екстремалях функціонал (2.1) досягає екстремуму потрібно скористуватися достатніми умовами екстремуму. Мова про достатні умови буде йти у наступних розділах. Однак, у багатьох варіаційних задачах існування розв’язку очевидне з фізичного або геометричного тлумачення задачі. Тому, якщо розв’язок рівняння (2.4), який задовольняє граничні умови, єдиний, то отримана єдина екстремаль і буде розв’язком варіаційної задачі.

Приклад 2.1. Знайти екстремалі функціонала , які задовольняють граничні умови , .

Розв’язання. У запропонованій задачі . Запишемо рівняння Ейлера (2.2) для функції . Маємо:

або .

Це лінійне неоднорідне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами і зі спеціальною правою частиною.

Запишемо відповідне однорідне рівняння: . Його загальним розв’язком є функція .

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння розшукуємо у вигляді . Диференціюємо двічі останню функцію, результат підставляємо в рівняння Ейлера, а потім прирівнюємо коефіцієнти при лінійно незалежних функціях та . Маємо: , , . Таким чином, загальний розв’язок рівняння Ейлера має вигляд

.

Знайдемо довільні сталі та . З граничних умов маємо: , . Отже, рівняння екстремалі має вигляд

.

Рівняння Ейлера (2.2) є диференціальним рівнянням другого порядку (див. зауваження 2.3) і не завжди інтегрується в замкненому вигляді. Тому доцільно розглянути деякі окремі випадки інтегрування цього рівняння.