Метод Ейлера

Дано звичайне диференційне рівняння (ЗДР) першого порядку

.

(1)

Необхідно знайти розв’язок цього рівняння , яке задовольняє початковій умові

.

(2)

Така задача називається задачею Коші.

Чисельний розв’язок задачі Коші полягає у находженні значень в точках відрізка , де h–шаг інтегрування; .

Якщо нанести точки на площину XOY і з’єднати їх відрізками прямої, можна одержати ломану лінію, яка називається ломаною Ейлера, – наближене зображення кривої.

Позначимо ; , .

Змінимо похідну в (1) – відношенням кінцевих різниць

.

(3)

.

При маємо або .

При маємо або .

Для наступних значень x маємо

Таким чином, одержимо таблицю значень в відповідних точках , яка є грубим наближенням розв’язку ЗДР.

Метод Ейлера найпростіший і порівняльно грубий чисельний метод інтегрування.

Приклад 1.

Розв’язати диференційне рівняння в інтервалі .

Розв'язок

.

Нехай . Розв'язок задачі представимо в вигляді таблиці.

i	xi	yi	F(xi,yi)
0	0	0
1	1	0,05
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	10