6.1. Канонічна форма запису рівняння Ейлера. Перші інтеграли рівнянь Ейлера

Розглянемо функціонал (2.5)

з граничними умовами (2.6). Для цього функціоналу рівняння Ейлера мають вигляд (2.7).

; (6.1)

.

Означення 6.1. Змінні (6.1) називаються канонічними змінними, а функція називається функцією Гамільтона даного функціоналу.

Зауваження 6.1. Канонічні змінні у випадку були введені в розділі 4 (див. підрозд. 4.4, формула 4.11).

Запишемо рівняння Ейлера (2.7) у канонічних змінних (6.1). Для цього з перших рівнянь (6.1) виразимо через . Це можливо, якщо припустити що . Тоді функцію можна розглядати як функцію, яка залежить від . Тобто . Запишемо повний диференціал функції :

.

З іншого боку, враховуючи означення функції (6.2), маємо:

. (6.3)

Прирівняємо вирази (6.2) і (6.3). Звідки:

. (6.4)

Враховуючи рівності (6.4) рівняння Ейлера (2.7) можна записати в симетричній формі

(6.4)

Означення 6.2. Система диференціальних рівнянь першого порядку (6.4) називається канонічною системою рівнянь Ейлера для функціонала (2.5).

Припустимо, що функція явно не залежить від . Тоді з (6.2) і (6.4) знаходимо

.

Звідки .

Означення 6.3. Першим інтегралом деякої системи диференціальних рівнянь називається функція, яка зберігає стале значення вздовж будь-якої інтегральної кривої цієї системи.

Отже, якщо функція не залежить від , то функція з (6.4) є першим інтегралом рівняння Ейлера.

Зауваження 6.2. Першим інтегралом для рівняння Ейлера 2.2 у випадку, коли є функція .

З'ясуємо тепер, які умови потрібно накласти на функцію , щоб вона була першим інтегралом системи диференціальних рівнянь Ейлера (6.4). Для цього обчислимо

, де

. (6.5)

Означення 6.4. Вираз з (6.5) називається дужкою Пуассона функцій і .

Теорема 6.1. Для того, щоб функція була першим інтегралом системи (6.4) необхідно і достатньо, щоб дужка Пуассона .