6.1. Канонічна форма запису рівняння Ейлера. Перші інтеграли рівнянь Ейлера
Розглянемо функціонал (2.5)
з граничними умовами (2.6). Для цього функціоналу рівняння Ейлера мають вигляд (2.7).
Ця система
диференціальних рівнянь другого порядку. Запишемо систему (2.7), як систему 
диференціальних рівнянь першого порядку. Для цього введемо нові змінні 
; (6.1)
.
Означення 6.1. Змінні (6.1) називаються канонічними змінними, а функція 
називається функцією Гамільтона даного функціоналу.
Зауваження 6.1. Канонічні змінні у випадку 
були введені в розділі 4 (див. підрозд. 4.4, формула 4.11).
Запишемо рівняння Ейлера (2.7) у канонічних змінних (6.1). Для цього з перших рівнянь (6.1) виразимо 
через 
. Це можливо, якщо припустити що 
. Тоді функцію можна розглядати як функцію, яка залежить від 
. Тобто 
. Запишемо повний диференціал функції :
.
З іншого боку, враховуючи означення функції 
(6.2), маємо:
. (6.3)
Прирівняємо вирази (6.2) і (6.3). Звідки:
. (6.4)
Враховуючи рівності (6.4) рівняння Ейлера (2.7) можна записати в симетричній формі
(6.4)
Означення 6.2. Система диференціальних рівнянь першого порядку (6.4) називається канонічною системою рівнянь Ейлера для функціонала (2.5).
Припустимо, що функція 
явно не залежить від 
. Тоді з (6.2) і (6.4) знаходимо
.
Звідки 
.
Означення 6.3. Першим інтегралом деякої системи диференціальних рівнянь називається функція, яка зберігає стале значення вздовж будь-якої інтегральної кривої цієї системи.
Отже, якщо функція 
не залежить від , то функція з (6.4) є першим інтегралом рівняння Ейлера.
Зауваження 6.2. Першим інтегралом для рівняння Ейлера 2.2 у випадку, коли 
є функція 
.
З'ясуємо тепер, які умови потрібно накласти на функцію 
, щоб вона була першим інтегралом системи диференціальних рівнянь Ейлера (6.4). Для цього обчислимо
, де
. (6.5)
Означення 6.4. Вираз 
з (6.5) називається дужкою Пуассона функцій 
і .
Теорема 6.1. Для того, щоб функція була першим інтегралом системи (6.4) необхідно і достатньо, щоб дужка Пуассона 
.