8.2. Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку

Розглянемо звичайне диференціальне рівняння

(8.5)

з лінійними крайовими умовами

(8.6)

де .

Надалі умови (8.6) можна вважати однорідними. Якщо це не так, то побудуємо функцію , є , яка задовольняє умови (8.6). Тоді функція , яка визначається рівністю буде задовольняти однорідні граничні умови.

Так, наприклад, якщо крайові умови (8.6) мають вигляд

, (8.7)

що відповідає значенням параметрів , функцію беремо у вигляді

.

Рівняння (8.5) потрібно звести до спеціального вигляду

. (8.8)

Для цього помножимо рівняння (8.5) на функцію . Після нескладних перетворень отримаємо рівняння (8.7), де .

Таким чином, розглянемо крайову задачу для диференціального рівняння (8.8) з однорідними крайовими умовами (8.6) (у цих умовах ), де - невід'ємні, і , а також і одночасно не обертаються в 0, .

З урахуванням зроблених припущень оператор

(8.9)

рівняння (8.8) є додатньо визначеним. Це твердження для граничних умов доведено в прикладі (7.5).

Аналогічно, додатну визначеність оператора (8.9) можна довести і для однорідних граничних умов (8.6) [6].

Наближений розв'язок рівняння (8.8) розшукуємо у вигляді (8.1), а саме де невідомі сталі є розв'язками системи (8.3) з коефіцієнтами (8.4):

(8.10)

Кожна з функцій (8.1) повинна задовольняти крайові умови. У випадку однорідних крайових умов (8.7), функції можна записувати у вигляді де .

Приклад 8.1. Побудувати варіаційну задачу для крайової задачі і знайти її наближені розв'язки і .

Розв'язання. Неважко переконатися в тому, що запропонована задача має розв'язок .

Побудуємо варіаційну задачу. Функціонал (7.9) має вигляд:

.

Координаційні функції записуємо у вигляді . За умовою знаходимо наближені розв'язки і . Для цього розв'язуємо систему (8.4) з коефіцієнтами (8.10), де .

У коефіцієнтах поза інтегральні члени дорівнюють нулю.

Спочатку знайдемо наближений розв'язок :

.

Тепер знайдемо :

;

Система (8.4) має вигляд

Звідки

.

Для порівняння значень в проміжних точках точного розв'язку, наближень і складемо таблицю:

Таблиця 8.1

	0,04261	0,03498	0,03505
	0,05682	0,05682	0,05659
	0,04261	0,05024	0,05027

З таблиці видно, що максимальна похибка вже другого наближення не перевищує 0,0002.

Зауваження 8.1. Для оцінки точності розв'язків, обчислених методом Ритца або іншими прямими методами, як правило, користуються таким прийомом: обчисляють наближення і та порівнюють їх значення у деяких проміжних точках відрізку . Якщо в межах заданої точності їх значення збігаються, то вважають, що розв'язком задачі є . Якщо значення не збігаються, то обчислюють і т.д.