Лекції № 15, 16 Чисельне розв’язання звичайних диференційних рівнянь

Теоретичні відомості

Звичайні диференційні рівняння (ЗДР) широко застосовуються для математичного моделювання процесів та явищ в різних галузях науки та техніки. Перехідні процеси в радіотехніці, кінетика хімічних реакцій, динаміка біологічних популяцій, рух космічних об’єктів, моделі економічного розвитку досліджуються за допомогою ЗДР.

До диференційного рівняння n-го порядку як невідомі величини входять функція і її перші n похідних по аргументу x:

(1)

Рівняння (2.1.1) еквівалентно системі n рівнянь першого порядку

,

(2.1.2)

де k=1, 2,… , n.

Рівняння (2.1.1) і еквівалентна йому система (2.1.2) мають безліч розв’язків. Єдині розв’язкі відокремлюють за допомогою додаткових умов, котрим повинні задовольняти шукані розв’язкі. В залежності від виду таких умов розглядають три типа задач, для яких доведено існування та єдність розв’язків.

Перший тип – це задачі Коши, або задачі з початковими умовами. Для таких задач крім початкового рівняння (2.1.1) в будь-якої точці повинні бути задані початкові умови, тобто значення функції та її похідних

..., .

Для системи ЗДР типа (2.1.2) початкові умови задаються у вигляді

, , ...,

(2.1.3)

До другого типу задач відносяться так звані граничні або крайові задачі, в яких додаткові умови задаються у вигляді функціональних співвідношень між шуканими розв’язками. Кількість умов повинна співпадати з порядком n-го рівняння або системи.

Третій тип задач для ЗДР – це задачі на власні значення. Такі задачі відрізняються тим, що окрім шуканих функцій та їх похідних до рівняння входять додатково m невідомих параметрів l1, l2,¼, , які називаються власними значеннями. Для єдності розв’язка на інтервалі [x0, xk] необхідно задати m+n граничних умов. Як приклад можна назвати задачі визначення власних частот, коефіцієнтів дисипації, структури електромагнітних полів і механічних напружень в коливальних системах, задачі знаходження фазових коефіцієнтів, коефіцієнтів затухання, розподілення напруженостей полів хвильових процесів, тощо.

Методи наближеного інтегрування диференційних рівнянь можна умовно поділити на три групи:

- аналітичні, які дозволяють одержати розв'язок у вигляді аналітичного вираження;

- графічні, які дають наближений розв'язок у вигляді графіка;

- чисельні, які дають наближений розв'язок у вигляді таблиці.

До чисельного розв'язку ЗДР приходиться звертатися, коли не вдається побудувати аналітичний розв'язок задачі через відомі функції. Хоча для деяких задач чисельні методи є більш ефективними навіть при наявності аналітичних розв'язків.