2.2. Функціонали, які залежить від похідних вищих порядків
Знайдемо екстремалі функціонала
(2.8)
з граничними умовами
(2.9)
де функція 
вважається (
) рази диференційованою за всіма своїми аргументами.
Теорема 2.2. Припустимо, що функція 
, і задовольняє граничні умови (2.9). Для того, щоб функціонал (2.8) досягав на кривій 
екстремуму, необхідно, щоб функція задовольняла рівняння
. (2.10)
Доведення. Припустимо, що функціонал (2.8) досягає екстремуму на деякій кривій . Застосуємо необхідну умову екстремуму (1.11) для функціонала (2.8), розглянутого на функціях 
, де 
, а 
- допустима крива порівняння. Маємо
.
Другий доданок в останньому інтегралі один раз інтегруємо частинами, третій доданок інтегруємо частинами двічі, а останній - 
разів. З урахуванням граничних умов (2.10) отримаємо
. (2.11)
До інтеграла (2.11) застосуємо основну лему варіаційного числення (див. теорему 1.2).
В результаті отримаємо рівняння (2.10).Рівняння (2.10) досить часто називають рівнянням Ейлера-Пуассона.
Приклад 2.4. Знайти екстремалі функціонала 
, які задовольняють граничні умови 
.
Розв’язання. Функція 
. Для запису рівняння (2.10) обчислимо: 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Таким чином, рівняння (2.10) набуває вигляду
, або 
.
Це лінійне диференціальне рівняння четвертого порядку зі сталими коефіцієнтами. Характеристичне рівняння [11] має вигляд 
. Його корені: 
, 
. Тому загальний розв’язок рівняння має вигляд 
.
Сталі 
визначаються з граничних умов. Маємо
Звідки 
Отже, екстремаллю наведеної варіаційної задачі є крива 
.
Еще по теме 2.2. Функціонали, які залежить від похідних вищих порядків:
- 2.3. Функціонали, які залежать від функцій кількох незалежних змінних.
- 3.1. Друга варіація функціонала. Квадратичний функціонал. Теорема Лежандра
- Функціонали у лінійному нормованому просторі. Варіація функціонала
- § 4. Ознаки держави, які відрізняють її від самоврядування первіснообщинного ладу
- § 2. Визначення походження дитини від матері та батька, які перебувають у шлюбі між собою
- Стаття 76. Обов'язки, які покладає суд на особу, звільнену від відбування покарання з випробуванням
- 16.4. Звільнення від відбування покарання з випробуванням вагітних жінок і жінок, які мають дітей віком до семи років
- 16.4. Звільнення від відбування покаранняз випробуванням вагітних жінок і жінок, які мають дітей віком до семи років
- Стаття .79. Звільнення від відбування покарання з випробуванням вагітних жінок і жінок, які мають дітей віком до семи років
- 16.8. Звільнення від відбування покарання вагітних жінок і жінок, які мають дітей віком до трьох років
- 16.8. Звільнення від відбування покарання вагітних жінок і жінок, які мають дітей віком до трьох років