№31. Постановка задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Формула решения задачи, записанное в полярных координатах.
Найти функцию U, удовлетворяющую уравнению:
 внутри круга | (1) |
граничному условию
 на границе круга, | (2) |
где 
-заданная функция, 
-полярный угол.
.
Введем полярную систему координат 
с началом в центре круга.
-полярные координаты.
Уравнение (1) в полярных координатах имеет вид
 . | (3) |
Решим уравнение методом разделения переменных, то есть будем искать частное решение уравнения (1), вида
.
Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение (3), получим
Отсюда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:
 | (4) (5) |
Определим знак 
:
1 случай Пусть 
например 
Рассмотрим уравнение (5) 
Характеристическое уравнение имеет вид 
-это решение не подходит, так как при изменении угла на величину 
однозначная функция 
должна вернуться к исходному значению 
(условие периодичности).
Отсюда следует, что 
то есть 
является периодической функцией
угла с периодом .
2 случай Пусть 
, тогда 
-это решение подходит для уравнения (5) системы при условии, что A=0.
Рассмотрим уравнение (4) системы:
Пусть 
тогда:
Таким образом получаем : 
-решение уравнения в общем случае.
3 случай Пусть 
например 
Решение уравнения (5):
причем 
.
Рассмотрим уравнение (4) системы:
Функцию 
будем искать в виде 
Подставим 
в уравнение (4):
Следовательно, 
- решение уравнения, где C и D –постоянные.
, так как, если 
, то функция 
обращается в бесконечность при 
и не является гармонической функцией внутри круга. Итак, частные решения нашей задачи найдены: 
,  -вид общего решения. | (6) |
Удовлетворим краевому условию:
Считая, что 
задана как функция угла , возьмем ее разложение в ряд Фурье 
где
Подставляя выражения для коэффициентов Фурье в формулу (6) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим
 | (8) |
Произведем следующие тождественные преобразования:
Подставляя полученный результат в равенство (8), получаем
-интегральная формула, дающая решение задачи.
-ядро Дирихле.