8.4. Метод Бубнова-Гальоркіна

Метод Бубнова-Гальоркіна є узагальненням методу Ритца для рівняння , де оператор не обов'язково додатний.

Нехай лінійний оператор визначений на множині, яка є плотною в деякому сепарабельному гільбертовору просторі. Виберемо послідовність функцій . Функції цієї послідовності повинні задовольняти лінійні однорідні граничні умови, бути неперервними і достатню кількість разів диференційованими (у відповідності до вимог задачі) у замкненій області , де - границя області .

Наближений розв'язок рівняння розшукуємо, як і раніше, у вигляді (8.1)

Побудуємо нев'язку

. (8.17)

За методом Бубнова-Гальоркіна коефіцієнти наближеного розв'язку (8.1) визначаються з умови ортогональності нев'язки (8.17) до всіх функцій , а саме:

. (8.18)

Систему рівнянь (8.18) можна переписати у вигляді

. (8.19)

За зовнішнім виглядом система (8.19) тотожня системі (8.3), яка була отримана у методі Ритца. Тому методи Бубнова-Гальоркіна і Ритца збігаються, якщо оператор А додатний або додатньо визначений.

Питання дослідження збіжності метода Бубнова-Гальоркіна широко висвітлені у сучасній літературі [5-7], але виходять за межу даного посібника.

Запишемо систему рівнянь (8.19) для деяких диференціальних і інтегральних рівнянь .

1.