Тема 2. Розподільчі задачі. Задачі розподілення ресурсів.

Розподільчі задачі – це розділ дослідження операцій, який вивчає оптимальний розподіл ресурсів за операціями, які необхідно виконувати з найбільшою сумарною ефективність.

Загальна постановка задач.

Нехай убудь-якій економічній системі є в наявності: m видів ресурсів, які можуть бути використані для здійснення n видів операцій (робіт).

Вважаємо, що будь-який ресурс може бути використаний для виконання будь-якої операції. Необхідно знайти такий розподіл ресурсів за операціями, при якому максимізується загальний прибуток від використання ресурсів, або результат, виражений в якійсь іншій формі, або мінімізуються загальні витрати ресурсів.

Розподільчу задачу легко представити у вигляді таблиці:

Види ресурсів	Операція, яку необхідно виконати
	О1	О2	...	Оn	Об’єм наявних ресурсів
R1	С11	С12	...	С1n	b1
R2	С21	С22	...	С2n	b2
Rm	Сm1	Сm2	...	Сmn	bm
Обсяг необхідних ресурсів	a1	a2	...	am	Σ bm Σ am

- обсяг виконаної роботи;

- функція витрат і-го виду ресурсу на j-тий тип операції.

- результат від розподілу ресурсів за операціями.

Іноді, економічно-математична модель в розподільчому виді має вигляд:

Математична модель розподільчої задачі в загальному випадку представляє собою задачу математичного програмування, тобто таку задачу, в котрій треба знайти екстремум функції при заданих обмеженнях на область допустимих значень змінних.

Класифікації розподільчих задач:

1) за визначеністю параметрів моделі:

- детерміновані;

- стохастичні;

2) за урахуванням фактору часу:

- статичні;

- динамічні;

3) за видом функцій :

- лінійні;

- нелінійні;

4) за областю та множиною допустимих значень змінних:

- дискретні;

- неперервні ();

5) за кількістю ресурсів:

- однопродуктові;

- багатопродуктові;

6) за сферою використання:

- виробничі;

- транспортні;

- призначення;

- розміщення;

- маршрутизації та ін.

7) задача формування виробничої програми підприємства.

Нехай на деякому підприємстві є m видів ресурсів, які використовуються для виробництва п видів продукції.

- види ресурсів;

- види продукції.

Відомі норми витрат на виготовлення одиниці продукції кожного виду

mxn

Для кожного виду продукції відома ціна реалізації Цj . Позначимо через Хj невідому величину, яка означає обсяг доцільного виробництва j-го виду продукції. При таких даних математична задача має вид. Необхідно знайти оптимальний обсяг роботи кожного виду, щоб сумарна вартість виготовленої продукції була найбільша:

Ц1­Х1 + Ц2­Х2 + Ц3­Х3 + ... + ЦпХп max

C11­Х1 + C12­Х2 + C13­Х3 + ...

C21­Х1 + C22­Х2 + C23­Х3 + ... + C2nХп b2

..................................................................

Cm1­Х1 + Cm2­Х2 + Cm3­Х3 + ... + CmnХп bm

х=

Транспортна задача.

Нехай використовуються тільки транспортний ресурс одного виду продукції.

Нехай існує m пунктів, де зосереджені запаси цієї продукції (пункт відправки постачання).

Нехай існує п споживачів цієї продукції, які розміщені в різних пунктах (пункт призначення споживання).

Нехай задані величини - витрати на одиницю продукції, на перевезення з і-го пункту постачання до j-го пункту призначення. Визначимо змінні обсяги перевезення продукції із і-го пункту постачання до j-го пункту призначення:

В класичній транспортній задачі критерієм оптимальності може бути час перевезень, пункт перевезень.

Задача про призначення.

Нехай існує на деякому підприємстві m вакантних посад, на які претендує п кандидатів. Допустимо, що ми можемо оцінити ефективність будь-якої посади будь-яким кандидатом. - ефективність використання j-тим кандидатом і-тої посади.

0 або 1

Задача про розміщення виробничих потужностей.

Нехай розглядається m можливих пунктів для розміщення виробництва деякого виду продукції. Нехай аі – максимальна потужність в і-тому пункті. Продукція із можливих пунктів поставлення п-споживачам, для кожного з яких відома потреба bj. Необхідно знайти пункти виробництва та схеми перевезень. Позначимо Хі - доцільний обсяг виробництва в і-тому пункті, а - обсяги перевезень продукції від і-того виробника до j-того споживача.

;

;

;

;

.