№48. Уравнение Пуассона и Лапласа, тип этих уравнений.

Уравне?ние Пуассо?на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает

электростатическое поле,

стационарное поле температуры,

поле давления,

поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид: где Δ — оператор Лапласа или лапласиан, а f — действительная или комплексная функция на некотором многообразии. Когда в качестве многообразия выступает Евклидово пространство, оператор Лапласа часто обозначается как и уравнение Пуассона принимает вид:

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».