3. Распределение Пуассона.

Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром ( > 0), если

(9)

Что кратко записывается в виде L() = П(); при этом = Е = D.

Это одно из важнейших дискретных вероятностных распределений впервые было исследовано в 1837 г. С.Пуассоном (французский математик, механик и физик, 1781 – 1840 гг.), именем которого оно и называется.

Пуассоновская модель П() обычно описывает схему редких событий: при некоторых предположениях о характере процесса появления случайных событий число событий, происшедших за фиксированный промежуток времени или в фиксированной области пространства, часто подчиняется пуассоновскому распределению. Примерами могут служить число частиц радиоактивного распада, зарегистрированных счетчиком в течении некоторого времени t, число вызовов, поступивших на телефонную станцию за время t, число дефектов в куске ткани или в ленте фиксированной длины, число изюминок в кексе и т.д. Наконец, распределение Пуассона дает хорошую аппроксимацию биномиального распределения для больших значений n и малых значений р: Bi(n, p) П(np), если np не велико. Это свойство позволяет значительно упростить вычисления в биномиальной модели при указанных условиях.

Пример 3. Дни рождения (из книги В.Феллера "Введение в теорию вероятностей и ее применения" Т1. – М.: Мир, 1984, с. 171 - 172). Какова вероятность p_x того, что в группе из 500 человек ровно х родились 1 января? Если эти 500 человек выбраны случайно, то можно применить схему из 500 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р = 1/365. Для пуассоновского приближения положим = 500/365 = 1,3699… Теоретические биномиальные вероятности (4) и их пуассоновские приближения (9) приведены ниже:

X	0	1	2	3	4	5	6
px = f(x | 500, 1/365)	0,253	0,3484	0,2384	0,1089	0,0372	0,0101	0,0023
px f(x | 500/365)	0,2541	0,3481	0,2385	0,1089	0,0373	0,0102	0,0023

Распределение Пуассона воспроизводимо по своему параметру, т.е. если X₁, … , X_k – независимые случайные величины и L(X_j) = П(_j), j = 1, … , k, то L(X₁ + … + X_k) = П(₁ + … + _k).

Если параметр неизвестен, то имеем пуассоновскую статистическую модель П(), = { : > 0 }.