14. Разложение ядра в ряд по собственным ф-циям полной ортонормальной системы. Билинейная формула.
С-ма всех собств.ф-ций, отвечающих всем собств.зн-ям симметр.ядра, приведённая к ортонормальному виду, наз. полной ортонормальной с-мой собств.ф-ций
Р-м симметричное ядро K(x,t), кот.
соответствует полная ортонормальная с-ма собств.ф-ций {yK(x)}. Зафиксируем зн-е переменной t.
В силу симметрии аргументы меняем местами:
Теорема: Если симметричное ядро K(x,t) м. представить в виде сходящегося ряда (1), то д/ядра ИУ справедлива билинейная ф-ла (2).
Док-во: Введём в рассмотрение ф-цию
Н.показать, что H(x,t)º0. Ряд в пределах от 1 до ¥: если б.доказывать, возникает вопрос о сходимости ядра. Р-м однородное ИУ с ядром H(x,t), кот.явл. симметричной ф-цией. K(x,t) – симметрично. Допустим, что у этого ядра имеется собственное зн-е r.
Подставим вместо Н его зн-е, домножим это ур-е на yn(x), проинтегрируем по dx.
В силу ортогональности собств.ф-ций от ряда – 1 зн-е
Но др.собств.ф-ций, кроме yn(x), у ядра ИУ нет ? j(x)=0 и собств.зн-й r у ядра H(x,t) не сущ #
Еще по теме 14. Разложение ядра в ряд по собственным ф-циям полной ортонормальной системы. Билинейная формула.:
- 13. Процесс ортогонализации Шмидта собственных ф-ций симметричного ядра. Полная ортонормальная с-ма собств.ф-ций
- №40. Ряд Тейлора и ряд Маклорена, разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
- Разложение в ряд Фурье непериодических функций.
- Разложение в ряд Фурье непериодических функций.
- 2. Формула полной вероятности
- Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
- Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.
- Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.
- 2. Формула полной вероятности
- Формула полной вероятности
- Формула полной вероятности
- Задача 28. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в ряд Маклорена функции
- №32. Представление непериодической функции рядом Фурье. Разложение в ряд Фурье в интервале [−L, L]
- 6. Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.
- Теорема о разложении аналитической функции в степенной ряд (теорема Тейлора).
- Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
- Задание 431–440. При указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции
- Задание 421–430. Требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
- Ряд Фурье по ортогональной системе функций.