Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.
Алгоритм разложения: 1) Составляем для функции f(x) ряд Тейлора ; 2) Находим интервал сходимости этого ряда ; 3) Проверка условия lim Rn(x) = 0 при n 
Разложение f(x) = ex 1) f ’(x) = ex, .
. . , f(n)(x) = ex, f(0) = f ‘(0) = f(n)(0) = 1
S(x) = 
2) R = lim | an/an+1| = lim (n+1) = 
ряд сходится при х
R и,
n n
следовательно, выполняется необходимое условие сходимости ряда lim un = lim xn/n! = 0
n n
3) lim Rn(x) = lim exp(
) xn+1/(n+1)! = exp() lim xn+1/(n+1)! = 0 , где (0,x)
n n n
Итог: функция ех на интервале (- , ) является суммой ряда
ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + . .
. + xn/n! + . . . =
( 15 ) Разложение f(x) = sin x 1) f ’(x) = cos x = sin (x + 
) , f ‘’(x) = sin (x + 2), . . . , f(n)(x) = sin (x + n), . . . ; f(0) =0, f ‘(0) = 1, f ‘’(0) = 0, f ‘’’(0) = -1, f ‘’’’(0) = 0,
и далее цикл 0, 1, 0, -1 повторяется при каждом обходе круга
S(x) = x – x3/3! + x5/5! – x7/7! + . . .
2) R = lim | an/an+1| = lim (2n+1)!/(2n-1)! = lim 2n(2n+1) = на интервале (- , )
n n n ряд сходится абсолютно
3) lim Rn(x) = lim [ sin(+ (2n+1) )] x2n+1/(2n+1)! = A lim x2n+1/(2n+1)! = 0 (|A|