Разложение в ряд Фурье непериодических функций.
В ряд Фурье можно разлагать не только периодические функции, но и любые ограниченные функции, определенные на конечном участке числовой оси, если вне этого участка поведение функции нас не интересует.
Если участок оси симметричен [-l, l] , то используется разложение ( 26 ), ( 27 ). Если функция f(x) задана на сегменте [0, l], то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее в сегменте [-l, 0] произвольным образом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной в сегменте [-l, l]. Наиболее удобно доопределять функцию условием четности f(-x) = f(x) или нечетности f(-x) = -f(x). В этом случае используются разложение только по синусам или только по косинусам в формулах ( 26 ), ( 27 ).Пр. Разложить в ряд Фурье функцию заданную в сегменте [0, 1] уравнением f(x) = x
Решение 1. Доопределим функцию f(x) на сегменте [-1, 0] нечетным образом, т.е. f(x) = x на сегменте [-1, 1]. В этом случае приходим к рассмотренной выше задаче
f(x) = 2/
[(-1)n+1 sin n x] /n
Решение 2. Доопределим функцию f(x) на сегменте [-1, 0] четным образом, т.е. f(x) = -x . В этом случае bn = 0 , а0 = 1/l
= 2
= 1 ;
an = 1/l
= 2
= - (2/2 )(1 - cosn)/n2 =
= - (2/2n2 ) (1 – (-1)n) = - (2/2n2 ) {
или а2m = 0 , a2m+1 = - 4/2 (2m+1)2 , т.е.
2cos (2m+1)x / (2m+1)2 Оба решения на сегменте [0, 1] дают одинаковый численный и графический результат, а за его пределами значения функций различны.