№40. Ряд Тейлора и ряд Маклорена, разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
Для функции f(x), имеющей все производные до (n+1)-го порядка включительно, в окрестности точки x = а (т. е. на некотором интервале, содержащем точку x = а) справедлива формула Тейлора:
(1)
где так называемый остаточный член Rn (x) вычисляется по формуле
Если функция f(x) имеет производные всех порядков в окрестности точки x = а, то в формуле Тейлора число n можно брать сколь угодно большим.
Допустим, что в рассматриваемой окрестности остаточный член Rn стремится к нулю при 
:
Тогда, переходя в формуле (1) к пределу при 
, получим справа бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора:
(2)
Последнее равенство справедливо лишь в том случае, если 
при 
. В этом случае написанный справа ряд сходится и его сумма равна данной функции f(x). Докажем, что это действительно так:
где
Так как, по условию,
то
Но Pn (x) есть n-я частичная сумма ряда (2); ее предел равен сумме ряда, стоящего в правой части равенства (2). Следовательно, равенство (2) справедливо:
из предыдущего следует, что ряд Тейлора представляет данную функцию f(x) только тогда, когда 
Если 
то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции).
Если в ряде Тейлора положим а = 0, то получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена: 
(3)