Разложение в ряд Фурье непериодических функций.

В ряд Фурье можно разлагать не только периодические функции, но и любые ограниченные функции, определенные на конечном участке числовой оси, если вне этого участка поведение функции нас не интересует.

Пр. Разложить в ряд Фурье функцию заданную в сегменте [0, 1] уравнением f(x) = x

Решение 1. Доопределим функцию f(x) на сегменте [-1, 0] нечетным образом, т.е. f(x) = x на сегменте [-1, 1]. В этом случае приходим к рассмотренной выше задаче

f(x) = 2/[(-1)n+1 sin n x] /n

Решение 2. Доопределим функцию f(x) на сегменте [-1, 0] четным образом, т.е. f(x) = -x . В этом случае bn = 0 , а0 = 1/l= 2= 1 ;

an = 1/l= 2 = - (2/2 )(1 - cosn)/n2 =

= - (2/2n2 ) (1 – (-1)n) = - (2/2n2 ) {

или а2m = 0 , a2m+1 = - 4/2 (2m+1)2 , т.е.

Оба решения на сегменте [0, 1] дают одинаковый численный и графический результат, а за его пределами значения функций различны.

Устные экзаменационные вопросы.

по теме: «Числовые ряды»

· Что такое аппроксимация функций и для чего она нужна;

· Опр. бесконечной числовой последовательности и ее предела. Общая классификация бесконечных числовых последовательностей;

· Опр. бесконечного числового ряда. Возможно ли его прямое суммирование?

· Как определяется сумма бесконечного числового ряда?

· Опр. сходимости и расходимости числового ряда;

· Геометрическая прогрессия. Вывод формулы для частичной суммы, переход к пределу

· Перечислить основные свойства сходящихся числовых рядов;

· Необходимый признак сходимости числового ряда. Доказать;

· Признаки сравнения ; Признак Даламбера; Интегральный признак Коши. Доказать;

· Опр. знакочередующегося числового ряда. Признак Лейбница;

· Опр. знакопеременного числового ряда. Признак абсолютной сходимости;

· Опр. абсолютно и условно сходящегося числового ряда; Пр.

· Опр. функционального ряда и его области сходимости;

· Опр. степенного ряда и ряда по степеням х ;

· Теорема Абеля;

· Опр. радиуса и интервала сходимости степенного ряда и ряда по степеням х;

· Написать формулу для радиуса сходимости ряда по степеням х;

· Общее правило дифференцирования и интегрирования степенных рядов;

· Написать в общем виде ряд Тейлора и ряд Маклорена;

· Что такое многочлен Тейлора и остаточный член ряда Тейлора;

· Необходимое и достаточное условие для разложения функции в ряд Тейлора;

· Написать формулу Лагранжа для остаточного члена ряда Тейлора;

· Алгоритм разложения произвольной функции в ряд Тейлора;

· Написать формулы разложения в ряд Тейлора для функций ex, sin x, cos x, (1+x)m, ln(1+x), arctg x;

· Как используют степенные ряды для приближенного вычисления значений функций;

· Как используют степенные ряды для приближенного вычисления интегралов;

· Как определяется погрешность при разложении функции в степенной ряд и знакочередующийся ряд;

· Как используют степенные ряды для приближенного решения диф.уравнений;

· Написать тригонометрический ряд;

· Опр.

· Какой ряд служит мажорирующим для тригонометрического ряда ?

· При каком условии тригонометрический ряд может оказаться сходящимся ?

· Общее определение системы ортогональных функций;

· Чему равны коэффициенты разложения любой функции по системе ортогональных функций ?

· Почему тригонометрические функции {1/2, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . .} образуют ортогональную систему ?

· Опр. ряда Фурье. Написать коэффициенты ряда;

· Чем различаются тригонометрический ряд и ряд Фурье?

· Условия Дирихле. Признак сходимости Дирихле;

· Объяснить, почему мажорирующий ряд для ряда Фурье является сходящимся;

· Свойства интеграла от четных и нечетных функций по симметричным пределам;

· Написать ряд Фурье для четных и нечетных функций;

· Написать ряд Фурье для функций с периодом 2l;

· Перечислить правила разложения в ряд Фурье непериодических функций.

Кафедра «Высшей Математики»