№32. Представление непериодической функции рядом Фурье. Разложение в ряд Фурье в интервале [−L, L]

Рассмотрим кусочно-непрерывную f (x), заданную в интервале [− L, L]. Используя подстановку , преобразуем ее в функцию определенную и интегрируемую в интервале [−π, π].

Коэффициэнты Фурье для данной функции определяются формулами

Возвращаясь к первоначальным переменным, то есть полагая , получим следующие выражения для ряда Фурье исходной функции f (x):

где

Разложение в ряд Фурье в интервале [a,b]

Если функция f (x) определена в интервале [a,b], то ее разложение в ряд Фурье определяется той же самой формулой где , а коэффициэнты вычисляются следующим образом:

Четные и нечетные функции

Разложение в ряд Фурье четной функции, определенной в интервале [− L, L], имеет вид где

Разложение в ряд Фурье нечетной функции, заданной в интервале [− L, L], выражается формулой где коэффициэнты Фурье равны