13. Процесс ортогонализации Шмидта собственных ф-ций симметричного ядра. Полная ортонормальная с-ма собств.ф-ций

Рангом собственного зн-я б.называть кратность корня ур-я D(l)=0. Рангу соответствует кол-во линейно независимых собств.ф-ций. Предположим, что собств. зн-е l₀ имеет ранг q ? этому собств.зн-ю соответствует с-ма линейно независимых базисных ф-ций: j₁(x), j₂(x), …, j_q(x).

y_i(x)=C_1ij₁(x)+C_2ij₂(x)+…+ C_qij_q(x) (1),

где C_ji явл. неопр.константами. i=1..q. В выр-ии (1) const C_ji найдём из усл-я ортогональности и нормировки ф-ций y_i(x). (y_iy_j)=0 if i?j (2) – усл-е ортог-ти

Задача поиска коэф-тов C_ji, отвечающих усл-ям (2), (3), наз. процессом ортогонализации Шмидта. Если ранг собственного зн-я =q, то процесс ортогонализации разбивается на q этапов.

1 этап. Находим первую ф-цию y₁(x). Берём её y₁(x)= Сj₁(x). Из усл-я (3) находим:

2 этап. Выбираем ф-цию y₂(x)=a₁y₁(x)+a₂j₂(x) (4). Домножим (4) на y₁(x) и проинтегрируем по dx. Из (2):

a₁*1+a₂ (j₂y₁) = 0

a₁ = –a₂ (j₂y₁)

y₂(x) = a₂ [j₂(x)–(j₂y₁)y₁(x)]

a₂ находим из усл-я нормировки:

3 этап. y₃(x) = b₁y₁(x)+b₂y₂(x)+b₃j₃(x). y₁, y₂ – нормированные. Из усл-я ортогональности ? 2 усл-я д/коэф-тов b₁…b₃.

b₁+b₃(j₃y₁)=0, b₂+b₃(j₃y₂)=0.

3-е ур-е получается из усл-я нормировки. Продолжая процесс, находим все коэф-ты C_ji выр-я (1), тем самым завершая процесс ортогонализации ф-ций.

С-ма всех собств.ф-ций, отвечающих всем собств.зн-ям симметр.ядра, приведённая к ортонормальному виду, наз. полной ортонормальной с-мой собств.ф-ций