№29. Понятие функции комплексного переменного. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условие Коши-Римана.

Определение функции комплексной переменной ничем не отличается от общего определения функциональной зависимости.

Рассмотрим две плоскости комплексных чисел: C = {z| z = x + iy} и W = {w| w = u + iv}. Пусть в плоскости С задана область D и задано правило, ставящее в соответствие каждой точке z ∈ D определённое комплексное число w ∈ W. В этом случае говорят, что на области D определена однозначная функция w = f(z) (или определено отображение f : z → w). Область D называется областью определения функции, множество {w| w ∈ W, w = f(z), z ∈ D} - множеством значений функции (или образом области D при отображении f.

Если каждому z ∈ D ставится в соответствие несколько значений w ∈ W ( т.е. точка z имеет несколько образов), то функция w = f(z) называется многозначной.

Функция w = f(z) называется oднолистной в области D ⊂ C, если она взаимно однозначно отображает область D на область G ⊂ W (т.е. каждая точка z ∈ D имеет единственный образ w ∈ G, и обратно, каждая точка w ∈ G имеет единственный прообраз z ∈ D.

Пусть функция w=f (z) определена в некоторой области G комплексной плоскости. Пусть точки z и z+Dz принадлежат области G. Положим Dw=f (z+Dz)–f (z), Dz = Dx+iDy.

Функция w=f (z) называется дифференцируемой в точке zОG, если существует предел . Этот предел называют производной функции f (z) и обозначают через f¢ (z ) (или ).

Пусть z=x+iy, w=f (z)=u(x,y)+iv(x,y), тогда в каждой точке дифференцируемости функции f (z) выполняются соотношения: Эти соотношения принято называть условиями Коши-Римана (или уравнениями Коши-Римана).

Когда в некоторой точке (x,y) выполняются условия Коши-Римана и, кроме того, функции u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы как функции действительных переменных, то функция f (z)=u+iv дифференцируема в точке z=x+iy как функция комплексного переменного z.

Если функция дифференцируема как в самой точке z, так и в её некоторой окрестности, то говорят, что она аналитическая в точке z.

Функцию, дифференцируемую в каждой точке области G, называют аналитической в этой области.

Производная аналитической функции через частные производные функций u и v выражается по формулам:

Производные элементарных функций комплексного переменного находятся по тем же формулам и правилам, что и для функций действительного переменного.

Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции.

Для того, чтобы функция w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) была дифференцируема в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) = Re f(z) и v(x, y) = Im f(z) были дифференцируемы в точке (х,у), и чтобы в этой точке выполнялись соотношения . Доказательство. Необходимость. Здесь мы применим идею, которой воспользовались, когда доказывали, что функция f(z) = | z |² = x² + y² не имеет производных в точках z ≠ 0: подойдём к точке z двумя путями - по направлениям Δz = Δх (Δy = 0) и Δz = iΔy (Δx = 0).