№22. Определение производной функции комплексного переменного. Функция аналитическая в области. Условие Коши-Римана. Формулы для производной.
Определение производной. Аналитичность ФКП. Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки z = x + iy ∈ C. Производной функции w = f(z) в точке z называется предел 
.
В этом определении важно, что стремление Δz → 0 может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x, y) и v(x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области.
Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.
Примеры. 1. f(z) = z 2. В этом случае f (z + Δz) = (z + Δz)2 = z 2 + 2 z·Δz + (Δz) 2; 
. Таким образом, эта функция дифференцируема в любой точке, и её производная равна 2z.
2. f(z) = | z |2 = x2 + y2. Докажем, что эта функция не имеет производной ни в какой точке z ≠ 0. Будем стремить Δz → 0 по двум путям: по прямой, параллельной действительной оси Ох (в этом случае Δz = Δx), и по прямой, параллельной мнимой оси Оу (в этом случае Δz = i Δy). В первом случае 
, во втором 
.
различны в зависимости от способа стремления Δz → 0, т.е. 
не существует. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции. Для того, чтобы функция w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) была дифференцируема в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) = Re f(z) и v(x, y) = Im f(z) были дифференцируемы в точке (х,у), и чтобы в этой точке выполнялись соотношения 
. Доказательство. Необходимость. Здесь мы применим идею, которой воспользовались, когда доказывали, что функция f(z) = | z |2 = x2 + y2 не имеет производных в точках z ≠ 0: подойдём к точке z двумя путями - по направлениям Δz = Δх (Δy = 0) и Δz = iΔy (Δx = 0). В первом случае: Δw = (u(x + Δx, y) + iv(x + Δx, y)) − (u(x, y) + iv(x, y)) = = (u(x + Δx, y) − u(x, y)) + i(v(x + Δx, y) − v(x, y)) = Δxu + iΔxv; 
. Во втором случае: (напомню, что 
) Δw = (u(x, y + Δy) + iv(x, y + Δy)) − (u(x, y) + iv(x, y)) = = (u(x, y + Δy) − u(x, y)) + i(v(x, y + Δy) − v(x, y)) = Δyu + iΔyv; 
. Пределы должны быть равны, поэтому 
.
где α(Δx, Δy), β(Δx, Δy) - бесконечно малые более высокого порядка по сравнению с 
, т.е. 
, 
. Найдём 
. 
. Последнее слагаемое - бесконечно малая высшего порядка по сравнению с Δz = Δx + iΔy: 
; далее, в предыдущих слагаемых, пользуясь формулами Коши-Римана, оставим только частные производные по х, т.е. заменим 
на 
, 
на 
; тогда 
. Отсюда следует, что существует 
, т.е. функция дифференцируема в точке (х,у). Производная дифференцируемой функции может находиться по любой из формул 
, эти равенства следуют из условий Коши-Римана. При вычислении производных можно пользоваться всеми правилами действительного анализа: 
(в точках, где g(z) ≠ 0. Примеры вычисления производных. 1. Выше мы доказали, что функция f(z) = z2имеет производную, равную 2z, в каждой точке. Проверим, что для этой функции выполняются условия Коши-Римана. Так как w = z2 = (x + iy)2 = x2 - y2 + 2 ixy, то 
.
Тогда 
. 2. Для функции w = e z мы получили u(x, y) = e z cos y, v(x, y) = e z sin y. Поэтому 
, т.е. функция дифференцируема. 
.
№23. Операционный метод решения линейных ДУ и их систем.
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно решать операционным методом по той же схеме, что и решение одного дифференциального уравнения. Вместо одного операторного уравнения получим линейную систему алгебраических уравнений.
Пусть, например, нужно решить систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
при начальных условиях Коши 
в предположении, что функции fk(t), (k=1, 2, ¼ , n) являются оригиналами (тогда и функции yk(t) – оригиналы). На практике часто рассматривается случай, когда fk(t) – линейные комбинации функций вида tmel t.
Пусть 
, 
.
Тогда изображающая исходную систему операторная система имеет вид:
Решая последнюю систему как линейную алгебраическую систему уравнений относительно Yk(p), найдем Yk(p), а затем их оригиналы уk(t) (k=1, 2, ¼ , n), которые и будут решениями задачи Коши для системы (1).
Задача Коши для систем уравнений порядка выше первого решается аналогично. Кроме того, такую систему всегда можно заменить эквивалентной ей системой уравнений первого порядка, вводя новую систему искомых функций.