18.Функции нескольких переменных. Примеры. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия.
Основные понятия. Частные производные
Определение. Функцией нескольких переменных f называется закон, по которому каждому упорядоченному множеству чисел ставиться одно и только одно число Z..
тогда говорят, что задана функция нескольких переменных
. Переменные 
называются независимыми переменными или аргументами, 
- зависимая переменная. Множество 
называется областью определения функции, множество 
- областью значений функции.
Функцию двух переменных будем обозначать как 
.
Определение. Графиком функции двух переменных 
называется множество точек трехмерного пространства (
), аппликата 
которых связана с абсциссой 
и ординатой 
функциональным соотношением 
. График представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.
Частные производные функции двух переменных
Частной производной по Х функции Z=f(x;y) называется обычная производная, вычисленная в предположении, что y постоянная.
Частной производной по У функции Z=f(x;y) называется обычная производная, вычисленная в предположении, что Х постоянная.
.
Экстремум функции двух переменных
Определение. Точка 
называется точкой максимума (минимума) функции 
, если существует окрестность точки 
такая, что для всех точек 
этой окрестности выполняется неравенство: 
, 
.
Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть точка 
- есть точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда частные производные 
и 
в этой точке равны нулю.
Терема (достаточное условие экстремума). Пусть функция 
:
а) определена в некоторой окрестности критической точки 
, в которой 
и 
,
б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка 
, 
, 
.
Тогда, если 
, то в точке 
функция 
имеет экстремум, причем если 
(или 
) – максимум, если 
(или 
) - минимум. В противном случае функция экстремума не имеет. Если 
, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.