№5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексной переменной. Понятие о конформном отображении.

Пусть функция w=f(z) аналитична в точке z0 и f '(z0)≠0. Выясним геометрический смысл аргумента и модуля произвоной. Функция w=f(z) отображает точку z0 плоскости z в точку w0=f(z0) плоскости w.

Пусть производная точка z=z0+∆z из окрестности точки z0 перемещается к точке w0 по некотрой кривой L, являющейся отображением кривой l в плоскости w. По определению производной f '(z0)=lim(∆zà0)∆w/∆z. Отсюда следует, что |f '(z0)|=|lim(∆zà0)∆w/∆z|=lim(∆zà0)|∆w/∆z|. Величина |∆z|=|z - z0| представляет собой расстояние между точками z0 и z0+∆z, а |∆w| - расстояние между точками w0 и w0+∆w. Следовательно, |f '(z0)| есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками w0 и w0+∆w к бесконечно малому расстоянию между точками z0 и z0+∆z. Этот предел не зависит (f(z) аналитична в точке z0) от выбора кривой l, проходящей через точку z0. Следовательно, предел lim(∆zà0)|∆w|/|∆z|=|f '(z0)| в точке z0 постоянен, т.е. одинаков во всех направлениях. Отсюда вытекает геометрический смысл модуля производной: величина |f '(z0)| определяет коэффициент растяжения (подобия) в точке z0 при отображении w=f(z). Величину |f '(z0)| называют коэффициентом растяжения, если |f '(z0)|>1, или коэффициентом сжатия, если |f '(z0)|

<< | >>

↑

Источник: Ответы на вопросы к экзамену по математической физике. 2017

Еще по теме №5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексной переменной. Понятие о конформном отображении.:

Глава III. Пути и средства увеличения вывоза наших товаров и уменьшения нашего потребления иностранных товаров

- Аналитическая геометрия - Вариационное исчисление - Векторный и тензорный анализ - Высшая геометрия - Высшая математика - Вычислительная математика - Дискретная математика - Дифференциальное и интегральное исчисление - Дифференциальные уравнения - Исследование операций - История математики - Комплексное исчисление - Линейная алгебра - Линейное программирование - Математическая логика - Математическая физика - Математический анализ - Пределы - Ряды - Статистика - Теория вероятностей - Теория графов - Теория игр - Теория принятия решений - Теория случайных процессов - Теория чисел - Финансовая математика - Функциональный анализ -

- Антропология - Астрономия - Безопасность жизнедеятельности - Библиотечное дело - Биология - Военное дело - География - Зоология - История - Культурология - Литература - Математика - Медицина - Педагогика - Политология - Право России - Право України - Психология - Религоведение - СМИ и журналистика - Социология - Технические науки - Транспорт - Физика - Философия - Финансы - Экология - Экономика - Этнография и демография - Юриспруденция - Языкознание -