№28. Понятие равномерной сходимости функционального ряда. Мажорантный признак Вейерштрасса.

Если для "e>0 $ N(e) что | r_n(z)| f(z).

Понятие равномерной сходимости-глобальное.

Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости- критерий Коши:

Если для "e>0 $ N(e ): | S_n+m(z)-S_n(z)| 0 и " z одновременно, то ряд .u_k(z)=>f(z).

Доказательство.

Необходимость. Пусть ряд u_k(z) сходится равномерно к f(z): "e >0 $ N(e) что |f(z)-S_n(z)| и подавно |f(z)-S_n+m(z)| =>| S_n+m(z)-S_n(z)| 0 и "zg. Достаточность. Пусть для "e>0 $ N(e ): | S_n+m(z)-S_n(z)| 0 и "zg => в "zg выполнен критерий Коши для числового ряда, т.е. все числовые ряды сходятся и в g определена f(z)=u_k(z). Переходя в (*) к пределу при m получим |f(z)-S_n(z)|e для "nN(e) и "zg => |r_n(z)|