№9. Интегрирование функции комплексного переменного.

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:где - точка, произвольно выбранная на дуге разбиения кривой, - приращение аргумента функции на этом участке разбиения, - шаг разбиения, - длина хорды, соединяющей концы дуги , кривая l разбивается произвольным образом на n частей , k=1,2...n.

На кривой выбрано направление, т.е. указаны начальная и конечная точки. В случае замкнутой кривой l = C, интегрирование происходит в положительном направлении, т.е. в направлении обхода, оставляющем слева конечную область, ограниченную контуром С. Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.

1 способ. Интеграл вычисляется сведением к криволинейным интегралам от функций действительных переменных - примененяются формулы:

где f(z) = u + iv, u = Re f(z), v = Im f(z).

2 способ. Интеграл вычисляется сведением к определенному интегралу (путь интегрирования l задается в параметрической форме z = z(t)) - применяется формула:

3 способ. Вычисление интегралов от аналитической функции в односвязных областях - примененяеется формула:

где F(z) - первообразная для f(z).