№25. Основные элементарные функции комплексного переменного.

1. Степенная функция w = z ⁿ, n - натуральное. Определена, однозначна и аналитична на всей плоскости С. Действительно, при n =1 w = x + iy, u = x, v = y, u’_x = 1 = v’_y, u’_y = 0 = -v’_x, w’ = u’_x + iv’_x = 1 (или, непосредственно, ).

2. Показательная функция w = e ^z. Определим эту функцию предельным соотношением . Докажем, что этот предел существует при ∀ z = x + iy ∈ C: , модуль этого числа обозначим M_n: , аргумент - Φ_n: (при достаточно больших n дробь 1 + z /n лежит в правой полуплоскости). , следовательно, существует .

При мнимом z = iy (x = 0) отсюда следует, что e ^iy = cos y + i sin y, теперь формула Эйлера окончательно доказана.

Кратко перечислим свойства этой функции.

1. Функция w = e ^z аналитична на всей плоскости С, и (e ^z )’ = e ^z (доказано в разделе 19.3.3. Примеры вычисления производных).

2. e ^z₁·e ^z₂ = e ^z₁ ^{+ z}₂ (проверяется непосредственно).

3. Функция w = e ^z периодическая, с мнимым основным периодом 2π i (e^{2π i} = cos(2π) + isin(2π) = 1, e ^{z + 2π i} = e ^z·e ^{2π i} = e ^z).

Из этого свойства следует, что для однолистности отображения w = e ^z необходимо, чтобы область D не содержала пары точек, связанных соотношением z₂ − z₁ = 2 nπ i, такой областью является, например, полоса {0 < Im z < 2π}, преобразуемая в плоскость С с выброшенной положительной полуосью.

3. Тригонометрические функции. Определим эти функции соотношениями , . Все свойства этих функций следуют из этого определения и свойств показательной функции. Эти функции периодичны с периодом 2π, первая из них четна, вторая - нечетна, для них сохраняются обычные формулы дифференцирования, например, , сохраняются обычные тригонометрические соотношения (sin²z + cos²z = 1 - проверяется непосредственно, , формулы сложения и т.д.)

4. Гиперболические функции. Эти функции определяются соотношениями , .

ch z = cos iz, sh z = - i cos iz, cos z = ch iz, sin z = - i sh iz, sh iz = i sin z, sin iz = i sin z.

5. Функция . Это n-значная функция (раздел 19.1.3), все значений которой даются формулами , k = 0, 1, 2, …, n-1. Функция определяется.

6. Логарифмическая функция w = Ln z определяется при z ≠ 0 как функция, обратная показательной: w = Ln z, если z = e ^w. Если w = u + iv, то последнее равенство означает, что e ^w = e ^{u+ iv} = e ^u e ^iv = z = | z | e ^{i Arg z} , откуда e ^u = |z| ⇒ u = ln | z |; v = Arg z = arg z + 2 k π i . Таким образом, Ln z = ln| z | + i (arg z + 2 k π), k = 0, ±1, ±2, ±3, ... - функция многозначная (бесконечнозначная); её значение при k = 0 называется главным и обозначается ln z: = ln |z| + i arg z. Так, ln (−5) = ln |−5| + i arg (−5) = ln 5 + πi, Ln (−5) = Ln |−5| + i arg (−5) + 2 k π i = ln 5 + i π(2k + 1), где k - произвольное целое число.

7. Общая показательная a ^z и общая степенная z ^a (z, a - произвольные комплексные числа, z, a ≠ 0, a = const) функции определяются соотношениями a ^z = e ^{z·Ln a}, z ^a = e ^{a·Ln z}, и,следовательно, бесконечнозначны.

8. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции определяются так же, как и в действительном случае (w = Ar sh z, если sh z = w, например), и выражаются через Ln z. Найдём, например, Arc cos(2i). По определению, это такое число w, что cos w = 2i, или . Так как , получаем две серии значений: ,