Лекция 4 Интеграл от функции комплексной переменной.

Рассмотрим кусочно-гладкую дугу АВ. Введем разбиение дуги точками А=z0, z1….zk-1, zk, … zn =B. На каждом элементе дуги zk-1, zk отметим точку Обозначим длину элемента дуги zk-1, zk . Рассмотрим непрерывную на дуге АВ и в некоторой ее окрестности функцию комплексной переменной . Вычислим .

Построим интегральную сумму . Введем интеграл от функции комплексной переменной по дуге АВ как предел интегральной суммы при неограниченном измельчении разбиения.

Теорема существования. Пусть функция f(z) непрерывна в области G. Пусть кусочно-гладкая дуга L принадлежит области G. Тогда интеграл

существует как предел интегральных сумм

Причем предел этот не зависит:

- от выбора способа разбиения дуги на элементы, лишь бы дуга представляла собой объединение элементов, и пересечение любых двух соседних элементов было бы точкой или пустым множеством (но никак не дугой конечной длины),

- от выбора точек на элементе разбиения, в которых вычисляются значения функции,

- от способа «измельчения» разбиения, лишь бы выполнялось условие .