№30. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Гармонический ряд.
Бесконечным числовым рядом называется выражение
| u1+u2+...+un+... , | (1) |
содержащее неограниченное число членов, где u1 , u2 , u3 , ...
, un , ...- бесконечная числовая последовательность; un называется общим членом ряда. Для составления ряда нужно знать закон образования общего члена. Например, если un = 2*n+1, то ряд имеет вид: 3, 5, 7, 9, ..., 501, 503, ..., n*2+1
Если un = (-1)n, то ряд имеет вид: -1, +1, -1, +1, ..., -1, +1, ..., (-1)n
Сумма первых n членов ряда обозначается символом Sn и называется частичной суммой этого ряда. Таким образом, Sn = u1 + u2 + ... + u n или, короче,
Определение: Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n®¥ стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда. Если ряд (1) сходится, т.е. имеет сумму S, то пишут S = u1 + u2 + ... + u n + ...
Если же при n®¥ сумма Sn не имеет предела или 
то ряд (1) называется расходящимся и не имеет суммы. Типичным примером сходящегося ряда может служить ряд, полученный из бесконечно убывающей геометрической прогрессии
| a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 + ..., | (2) |
Где -1 < q < 1
Действительно, для этого ряда
|
При n®¥ qn®0 (так как | q |1, то ряд (2) является также расходящимся.
Ряд
| 1 + 2+ 3+ ... + n +... , | (1) |
очевидно, расходится, но и ряд
 | (2) |
составленный из обратных величин соответствующих членов ряда (1), также расходится. Чтобы доказать расходимость ряда (2), воспользуемся тем, что переменная величина 
при неограниченном возрастании n стремится к неперову числу e как к своему пределу, всё время оставаясь меньше этого предела. Поэтому при любом положительном n имеем 
. Отсюда 
, или 
, или 
.
Подставляя в последнее неравенство вместо n числа 1, 2, 3, 4, ..., получим неравенства:
Складывая почленно эти неравенства, получим: 
, или Sn>ln(n+1)
Но 
, а поэтому и 
, т.е. ряд (2) расходится. Ряд (2) называется гармоническим рядом.