2. Многочлен Ньютона для функции с равноотстоящими узлами.

Многочлен Ньютона будем искать в виде:

(3)

с учётом того, что узлы интерполяции равноотстоящие.

График многочлена должен проходить через заданные узлы: N(xi)=yi, i=.

…………………………………

Найдём отсюда коэффициенты:

Аналогично можно найти и другие коэффициенты. Общая формула имеет вид:

Подставим эти выражения в формулу (3):

(4)

- интерполяционный многочлен Ньютона, где Δky0 – могут быть вычислены по формуле (1).

Формулу (4) часто записывают в другом виде, для этого вводится переменная . Тогда:

……………………….

С учетом этих соотношений формулу (4) можно переписать в виде

(5)

Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию y=f(x) на всём отрезке изменения аргумента |x0, xn|.

Метод прямоугольников

Рис.1

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке[a;b]. Этот отрезок делится точками на равных отрезков длиной

Обозначим через значение функции f(x) в точках Далее составляем суммы

Каждая из сумм — интегральная сумма для f(x) на [a;b] и поэтому приближённо выражает интеграл

(1)

Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула

(2)

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок [a;b], тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Алгоритм нахождения приближенного значенгия интеграла

1) разделить отрезок интегрирования на n равных частей точками х0= a, x1, x2, …, xn-1, xn=b;

2) вычислить значения подынтегральной функции y=f(x) в точках деления, т.е. найти y0=f(x0), y1=f(x1), y2=f(x2), …, yn-1=f(xn-1), yn=f(xn);

3) воспользоваться одной из приблеженных формул: (1) и (2)