Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
Лемма. Интеграл от функции f(x) на симметричном интервале [-a, a] равен 0 для нечетной функции и для четной функции равен удвоенному значению интеграла по половине промежутка
- нечетная функция; 
2
- четная функция ( 23 )
График четной функции симметричен, нечетной функции антисимметричен.
Каждый из ни распадается на две части на интервалах [-a, 0] и [0, a], которые ограничивают одинаковые по площади криволинейные трапеции. Но знаки этих площадей совпадают для четных функций и противоположны для нечетных. Для четной функции имеем
= 
+ 
= {x = -z} = -
+ = 
+ Для нечетной функции приходим к разности одинаковых интегралов. Произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная, произведение двух нечетных функций есть функция четная. Эти свойства интегралов существенно упрощают вид ряда Фурье для четных и нечетных функций.
Для четных функций ряд Фурье имеет вид :
f(x) = a0/2 + 
ancos nx , где а0 = 2/
; an = 2/
; bn = 0 ( 24 )
для нечетных функций : f(x) = bnsin nx , где bn = 2/
; an = 0 ( 25 ) Пр. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2, если на [-,] она имеет вид f(x) = |x| .
Решение.Функция удовлетворяет условиям Дирихле и является четной,поэтому bn=0,
а0 = 2/= а0 = 2/
= ; an = 2/ = 2/
=
= 2/n[x sin nx|0- 
] = (2/n2)[cos n- 1] = (2/n2)[ ( (-1)n - 1) =
= (2/n2){
. Т.о., f(x) = /2 - 4/ 
(2m -1)-2 cos(2m-1) x