5.3.2. Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для функции, заданной таблицей с постоянным шагом, составлена таблица конечных разностей.

Будем искать интерполяционный многочлен в виде:

(9)

Это многочлен n-й степени.

Пусть x=x₀, тогда, подставив в (9) вместо х значение х₀, мы должны получить значение y₀: , отсюда .

Далее, придавая x значения x₁, x₂ и т.д., последовательно получаем:

, отсюда

,

откуда

Далее, проводя аналогичные выкладки, можно получить , в общем случае выражение для a_k будет иметь вид:

(10)

Подставим найденные значения коэффициентов а_i в выражение для многочлена (9)

(11)

На практике эта формула применяется в несколько ином виде

Положим , т.е. .

Тогда:

и т.д.

Окончательно имеем:

(12)

Формула (12) называется первой интерполяционной формулой Ньютона.

Эта формула применяется для интерполирования в начале отрезка интерполяции, когда t мало по абсолютной величине. Первую интерполяционную формулу Ньютона называют по этой причине формулой для интерполирования вперед. За начальное значение x₀ можно принимать любое табличное значение аргумента x_i.