6.2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона
Пусть функция y(x), задана таблично в равноотстоящих узлах xi на отрезке [a,b]:
| x | x0 | x1 | x2 | … | xn |
| f(x) | y0 | y1 | y2 | … | yn |
Для нахождения на [a,b] производных 
, 
и т.д., функцию y приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенным для системы узлов 
:
где 
и 
.
Производя перемножение биномов, получим:
Будем дифференцировать данный многочлен как сложную функцию: 
. Получим:
 | (1) |
Так как 
, формула вычисления второй производной будет выглядеть следующим образом:
 | (2) |
Таким же способом можно вычислить производные любого порядка.
Чтобы уменьшить погрешность вычисления, при нахождении производных в фиксированной точке х в качестве х0 следует выбирать ближайшее табличное значение аргумента (уменьшить таблицу).
Иногда требуется находить производные функции в основных табличных точках xi. В этом случае формулы численного дифференцирования упрощаются. Так как каждое табличное значение можно считать за начальное, то положим x=x0, следовательно, t=0.
Получим:
 | (3) | |
 | (4) |
Погрешность приближенного вычисления первой производной в нулевой точке будет равна
